МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Знакомства и рукопожатия (30.09 и 3.10)

1.

В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе? (За выигрыш шахматист получает 2 очка, за сведенную вничью партию партнеры получают по 1 очку, проигравший очков не получает).

2.

Школьник сказал своему приятелю: « У нас в классе тридцать пять человек. И представь, каждый из них дружит ровно с одиннадцатью одноклассниками.» Могло ли такое быть?

3.

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

4.

Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

5.

В компании из семи мальчиков каждый имеет среди остальных не менее трёх братьев. Докажите, что все семеро — братья.

6.

В городе Маленьком по-прежнему 15 телефонов, каждый из которых соединен проводом не менее, чем с 7 другими. Докажите, что любой владелец телефона может передать сплетню любому другому (возможно, через других людей).

7.

На дискотеке каждый мальчик танцевал ровно с десятью девочками, а каждая девочка — ровно с девятью мальчиками. Кого было больше: мальчиков или девочек?

Дополнительные задачи

8.

На конференции присутствуют 50 ученых, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции. Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.

9.

В норке живёт семья из 24 мышей. Каждую ночь ровно четыре из них отправляются на склад за сыром. Может ли так получиться, что в некоторый момент времени каждая мышка побывала на складе с каждой ровно по одному разу?

10.

Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее, чем с 68 другими. Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.