МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Оценка + пример (16.12 и 19.12)

1.

На рисунках плоскость разбита на клетки в форме а) правильных треугольников б) квадратов в) правильных шестиугольников. Соседними считаются клетки, у которых есть общая сторона. Каждую клетку красят одним цветом, при этом любые две соседние должны быть покрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов потребуется для такой раскраски?

2.

Какое наибольшее количество ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

3.

Какое наименьшее количество клеток на шахматной доске надо отметить, чтобы в любом квадратике 2x2 нашлась хотя бы одна отмеченная клетка?

4.

В верхнем ящике шкафа лежат 5 одинаковых белых перчаток на правую руку и 10 одинаковых белых перчаток на левую руку. В нижнем ящике шкафа лежат 10 одинаковых черных перчаток на правую руку и 15 одинаковых черных перчаток на левую руку. Содержимое ящиков перемешали и положили в пакет. Какое наименьшее количество перчаток нужно вытащить из пакета наугад (не заглядывая в пакет), чтобы среди них оказалась полноценная пара одноцветных перчаток?

5.

Поле для игры в "морской бой" имеет форму квадрата 8x8. На нем стоит один корабль, имеюший форму прямоугольника 1x4. Какое наименьшее количество выстрелов надо сделать, чтобы а) ранить корабль б) однозначно определить положение корабля?

6.

В старину в городе Костроме было всего шесть улиц. Для защиты города от врагов жители решили построить крепость. Крепость должна была иметь вид многоугольника, и каждая ее стена должна была располагаться вдоль одной из улиц. На каждом углу крепости предполагалось построить башню. Какое наибольшее количество башен могла иметь такая крепость? Нарисуйте план города и крепости для этого случая.

Дополнительные задачи

7.

В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?

8.

Для того чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неисполь¬зованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (т.е. либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?

9.

На совместной конференции лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека. Их рассадили в 4 ряда по 8 человек. В перерыве каждый из них заявил: "Среди моих соседей есть представители обоих партий". Какое наименьшее количество лжецов могло участвовать в конференции? (два участника являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого)

10.

На контурной карте несколько государств изображены в виде прямоугольников. Вася хочет раскрасить карту в несколько цветов так, чтобы любые два государства, имеющие общий кусок границы, были разных цветов. При каком наименьшем количестве государств для такой раскраски не хватит трех цветов?