МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Алгоритмы (20.01 и 23.01)

1.

Каждую из трех котлет нужно пожарить на сковороде с двух сторон в течение пяти минут каждую сторону. На сковороде умещается только две котлеты. Можно ли сжарить все три котлеты быстрее, чем за 20 минут (временем на переворачивание и перекладывание котлет пренебрегаем)?

2.

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?

3.

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если два разных — вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

4.

У похитителя чемоданов есть 6 запертых чемоданов и 6 ключей к ним. При этом неизвестно, к какому чемодану подходит какой ключ. За одну попытку похититель может попробовать любым ключом открыть любой чемодан. Какое наименьшее число попыток ему понадобится для того, чтобы наверняка определить, какой ключ от какого чемодана?

5.

Даны четыре одинаковых по виду шара массой 1000 г, 1001 г, 1002 г, 1004 г и 1007 г, а также весы со стрелкой, на которых можно взвесить произвольный груз. Найдите шар с массой 1000 г за три взвешивания.

6.

Поля клетчатой доски размером 8x8 можно по очереди закрашивать так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии (кроме того, каждый раз разрешается закрашивать только те клетки, которые имели общие точки с уже нарисованной фигурой). Закрасьте, соблюдая это условие, как можно больше клеток. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа в том порядке, в котором проводилось закрашивание).

Рассматриваться будут решения, содержашие по крайней мере 15 закрашенных клеток.

Дополнительные задачи

7.

На столе вперемешку лежат три настоящих и три фальшивых монеты. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые также весят одинаково, но при этом легче настоящих. Вася принёс ещё одну монету, но не знает, настоящая она или фальшивая. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь он сможет это узнать?

8.

На листе бумаги нарисован квадрат, и невидимыми чернилами отмечена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой). Как, задав ему всего три вопроса, узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

9.

Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет достаточно большое (т.е. либо в точности подходящее, либо такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя. Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?

10.

Фома и Ерема делят три куска сыра. Сначала Фома выбирает любой кусок и режет его на две части (так, как он хочет). Затем он раскладывает все четыре куска сыра на две тарелки. Затем Ерема выбирает тарелку и они по очереди забирают с нее куски сыра (первым берет сыр Ерема). Точно также поступают со второй тарелкой, только теперь первым берет Фома. Придумайте алгоритм действий Фомы, следуя которому, он может обеспечить себе по-крайней мере половину сыра.