МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Руководитель Блинков Александр Давидович
2006/2007 учебный год

Шахматы и доски

1.
В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.

2.
Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на 4 одинаковые по форме и площади части так, чтобы из них можно было сложить квадрат размером 6x6 с шахматной раскраской.

3.
На поле а) f6 б) e1 шахматной доски стоит шашка. Сколько существует различных маршрутов, по которым она сможет пройти в дамки? (Напомним, что шашка может ходить вперед по диагонали на соседнюю клетку и превращается в дамку, если достигает восьмой диагонали.)

4.
Шахматный конь стоит в левом нижнем углу доски. Может ли он, сделав а) 4; б) 5; в) 2005 ходов вернуться на исходное поле?

5.
Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки так, чтобы никакие две доминошки не образовали квадрат 2x2?.

6.
В каждой клетке треугольной доски размером 7x7x7 сидит жук. В один прекрасный момент каждый жук переполз на соседнюю по стороне клетку.
а) Докажите, что хотя бы одна клетка оказалась при этом свободной.
б) Какое наименьшее число клеток могло оказаться свободными?
в) Задача-конкурс. Придумайте такое “переползание” жуков, чтобы как можно больше клеток оказались пустыми.

Дополнительные задачи

7.
На шахматной доске на двух соседних по диагонали чёрных полях стоят две чёрные шашки. Можно ли дополнительно поставить на эту доску некоторое число чёрных шашек и одну белую таким образом, чтобы белая одним ходом “съела” все чёрные шашки, включая две первоначально стоявшие?

8.
На главной диагонали шашечной доски 10x10 стоит 10 шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?

9.
В некоторых клетках шахматной доски стоят крестики. Известно, что каждый крестик является единственным либо в строке либо в столбце. Какое наибольшее количество крестиков может стоять в клетках доски?