МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Примеры и конструкции (23.09 и 26.09)

1.

На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

2.

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

3.

У Пятачка и Винни-Пуха было несколько одинаковых палочек. У Пятачка 12, а у Винни-Пуха – 18. Они сложили каждый по прямоугольнику. Могла ли площадь прямоугольника Пятачка оказаться больше площади прямоугольника Винни-Пуха?

4.

За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

5.

Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски 8x8 (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы во всех вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях — не поровну? Если да, то нарисовать; если нет, объяснить почему.

6.

В парке живут 16 жирафов, известно, что у всех разный рост. Возможно ли построить всех жирафов в шеренгу (ряд), так что, если любые 11 убегут гулять, оставшиеся 5 будут стоять не "по росту"?

Дополнительные задачи

7.

Назовём автобусный билет счастливым, если сумма цифр его номера делится на 7. Могут ли два билета подряд быть счастливыми?

8.

Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)

9.

Король Прямоугольного государства провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области.
А) Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)
Б) Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?