МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Я.И. Перельман. «Живая математика», «Занимательная арифметика», «Занимательная алгебра», «Занимательная геометрия». Любые издания.
В увлекательной форме рассказов излагаются математические задачи и даются полезные практические приемы счета и измерения, говорится о многих геометрических задачах, возникающих в лесу, в поле, у реки. Задачи сопровождаются занимательными экскурсиями в область истории математики, неожиданными применениями. Для чтения книг достаточно знания правил арифметики и элементарных сведений из геометрии.
С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. «Ленинградские математические кружки». Киров, 1994. 272 с.
Книга обобщает опыт, накопленный многими поколениями преподавателей школьных математических кружков при механико-математическом факультете ЛГУ и ранее недоступный массовому читателю. Построена в форме задачника, отражающего тематику первых двух лет работы типичного кружка. Она вполне обеспечивает материалом 2–3 года работы школьного математического кружка или факультатива для учащихся 6–9, а отчасти и 10–11 классов. Все тематические главы снабжены методическими комментариями для учителя.
А.В. Спивак. «Тысяча и одна задача по математике». М.: Просвещение, 2002. 208 c.
В книге широко представлены задачи по математике, предлагавшиеся на занятиях математических кружков и олимпиадах. Основное ее содержание – классические, проверенные временем арифметические задачи, которые учат правильно рассуждать и считать. Кроме них, есть геометрические задачи, требующие фантазии и изобретательности, и просто забавные шутки. Книга предназначена для учащихся 5–7 классов, но будет интересна и полезна как более младшим, так и более старшим школьникам, а также учителям и родителям.
Н.Я. Виленкин. «Рассказы о множествах». М.: Наука, 1969. 160 с.
В популярной и увлекательной форме излагаются основные понятия и факты теории множеств – фундамента важнейших разделов современной математики. В книге приводятся интересные задачи, остроумные сравнения, наглядные образы.
Р.М. Смаллиан. «Как же называется эта книга?», «Принцесса или тигр?». М.: Мир, 1985.
Книги известного американского математика и логика профессора Р.Смаллиана посвящены логическим парадоксам и головоломкам, логико-арифметическим задачам и проблемам разрешимости, связанным с теоремой Гёделя.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи. «Как решают нестандартные задачи». Под редакцией В.О. Бугаенко. М.: МЦНМО, 2001.
В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского характера (более 800 задач), которые сгруппированы по классам, а внутри классов — по возрастанию трудности.
Г. Радемахер, О. Теплиц. «Числа и фигуры». М.: Физматгиз, 1962. 264 с.
Каждый из 27 маленьких очерков, посвященных различным вопросам математики, — образец доступного научного исследования. Ценность книги в том, что она не только знакомит с материалом, над которым работает наука, но и показывает научные методы в действии.
Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. «Прямые и кривые». - 3-е изд. - М.: МЦНМО, 2000. 128 с.
Главные действующие лица этой книжки — различные геометрические фигуры, или «множества точек». Вначале появляются самые простые фигуры в различных сочетаниях. Они двигаются, обнаруживают новые свойства, пересекаются, объединяются, образуют целые семейства и меняют свое обличье – иногда до неузнаваемости. Книжка состоит примерно из двухсот задач, многие из которых даны с решениями и комментариями. Эти задачи очень разнообразны — от традиционных задач, в которых нужно найти и как-то использовать то или иное множество точек, до небольших исследований, приводящих к важным математическим понятиям и теориям. Помино обычных геометрических теорем о прямых, окружностях и треугольниках, в книге используются метод координат, векторы и геометрические преобразования, и особенно часто — язык движений.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. — М.: Аванта+, 1999.
Великолепно иллюстрированная энциклопедия, самая полная из существующих на сегодняшний день.
В.А. Уфнаровский. Математический аквариум». НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2000. 216 c.
Книга посвящена нескольким ярким фрагментам из различных областей математики. В каждой задаче указывается не только решение, но и тот путь, по которому к нему можно прийти. Изложение материала свободное. Поэтому читатель может прочувствовать, как именно рождаются решения математических задач. Книга рассчитана на широкий круг лиц, интересующихся математикой, в первую очередь – на школьников старших классов, будущих абитуриентов и участников олимпиад.

Содержание

  1. На газете до Венеры.
  2. Искусство обозначать, или "принцип бяки".
  3. Умение делать вид.
  4. Как бороться с модулями, или искусство перебора.
  5. О противных доказательствах.
  6. Как считать, чтобы не считать (принцип Дирихле).
  7. Остатки остатков.
  8. Их сиятельство граф.
  9. Хоть что-то, но неподвижно.
  10. Живописцы, окуните ваши кисти.
  11. Кирпич в луже и таинство перевода.
  12. Прогулка до постулата Чебышёва.
  13. Тренажёр.
  14. Намёки.
В.В. Прасолов. «Задачи по планиметрии». – 4-е изд., дополненное – М.: МЦНМО, 2000. 584 с.
В книгу включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1500 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.
И.Ф. Шарыгин. «Геометрия. Задачник для 9–11 классов». М.: Дрофа, 1986. 400 c.
В пособии собраны и систематизированы более 1000 задач по планиметрии с решениями, большинство из которых являются авторскими. Книга адресована учащимся физико-математических классов и школ, слушателям и преподавателям подготовительных отделений вузов, а также читателям, занимающимся самообразованием.
Г.С.М. Коксетер, С.Л. Грейтцер. «Новые встречи с геометрией». M.: Наука, 1978. 224 с.
Изучение этой книги дает возможность взглянуть на геометрию в целом и в то же время познакомиться с отдельными ее жемчужинами (такими как теорема Фейербаха, теорема Брианшона, теорема Морлея, теорема Петерсона-Шута). Книга содержит много задач. Авторы насытили изложение большим количеством интересных сведений по истории появления идей и результатов, что делает книгу еще более привлекательной.
М. Гарднер. «От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам». М.: Мир, 1993. 416 с.
Книга состоит из рассказов о непериодических мозаиках Пенроуза, фракталах Мандельброта, сюрреальных числах Конвея, комбинаторных головоломках, игре цзяньшицзы (которую автор называет нимом Витхоффа), логических головоломок Смаллиана и т.п. Как обычно, Гарднер почти не приводит доказательств, да и точные формулировки не часты. Вместо этого он стремится заинтриговать читателя.

Содержание

  1. Мозаики Пенроуза.
  2. Мозаики Пенроуза. II
  3. Фракталы Мандельброта.
  4. Сюрреальные числа Конвея.
  5. Возвращение из Клондайка и другие задачи.
  6. Улипо.
  7. Улипо. II
  8. Ним Витхоффа.
  9. Треугольник из бильярдных шаров и другие задачи.
  10. Математическая индукция и цветные шляпы.
  11. Отрицательные числа.
  12. Разрезания фигур на n конгруэнтных частей.
  13. Надёжные шифры.
  14. Надёжные шифры. II
  15. Гиперболы.
  16. Новый Элевсин.
  17. Теория Рамсея.
  18. От колючек до Беррокаля.
  19. Игральные кости Зихермана, принцип Крускала и другие курьёзы.
  20. Логические задачи Рэймонда Смаллиана.
  21. Возвращение доктора Матрикса.
М. Гарднер. «Крестики-нолики». М.: Мир, 1988. 352 с.
Книга известного популяризатора науки Мартина Гарднера содержит разнообразные эссе по занимательной математике.

Содержание

  1. Колёса.
  2. Диофантов анализ и большая теорема Ферма.
  3. Молекула с узлами и другие задачи.
  4. Иерархия алефов и сверхзадачи.
  5. Нетранзитивная игра в кости и другие парадоксы теории вероятностей.
  6. Геометрические заблуждения.
  7. Комбинаторика складывания бумаги.
  8. Набор простеньких задач.
  9. Крестики-нолики, или тик-так-тоу.
  10. Складывание многогранников.
  11. Игра хальма.
  12. Рекламные призы.
  13. Сэлмон о собаке Остина.
  14. Ним и хакенбуш.
  15. Изящные графы Голомба.
  16. Лыжник Чарлза Адамса и другие задачи.
  17. Шахматные задания.
  18. Ползунок, 3x+1 и другие любопытные вопросы.
  19. Математические фокусы с картами.
  20. Игра жизнь. Часть I.
  21. Игра жизнь. Часть II.
  22. Игра жизнь. Часть III.

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Н.К. Верещагин, А. Шень. «Начала теории множеств». М.: МЦНМО, 1999. 128 с.
Книга написана по материалам лекций и семинаров, проводившихся авторами для студентов младших курсов мехмата МГУ. В ней рассказывается об основных понятиях «наивной теории множеств» (мощности, упорядоченные множества, трансфинитная индукция, ординалы). Изложение рассчитано на учеников математических школ, студентов-математиков и всех интересующихся основами теории множеств. Книга включает в себя около сотни задач различной трудности.
Р.Курант, Г. Роббинс. «Что такое математика?». – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2001. 586 с.
Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.
Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. «Наглядная геометрия». – 3-е изд. – М.: Наука, 1981. 344 c.
Книга представляет собой одно из лучших и исторически одно из самых первых популярных произведений по математике, написанных крупными математиками. В книге содержится, действительно, очень наглядный, но достаточно строгий рассказ о геометрических науках и теориях, в частности о геометрической кристаллографии, о геометрической сущности кинематики и о топологии. Книга вполне доступна школьникам старших классов, интересующимся математикой. В то же время она во многих главах хорошо дополняет, не дублируя, курс вузовской математики. Эту книгу с удовольствием прочтет и зрелый математик, случайно не познакомившийся с нею в процессе своего математического образования.
В.Б. Алексеев. «Теорема Абеля в задачах и решениях». М.: МЦНМО, 2001. 192 с.
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высоких степеней не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики – теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги – дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями. Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.
И.М. Яглом, В.Г. Болтянский. «Выпуклые фигуры». М.: ГИТТЛ, 1951. 344 c.
Книга имеет форму сборника задач с решениями. Авторы стремились подобрать задачи, занимательные по форме и могущие уже условием заинтересовать читателя. Этим объясняется то большое место, которое уделено в книге различным оценкам «степени центральности» выпуклых фигур, теореме Юнга о наименьшей окружности, в которую можно заключить все фигуры данного диаметра, и сходным теоремам, кривым постоянной ширины и родственным кривым. Кроме этого, есть главы, посвященные теореме Хелли и изопериметрической задаче. Книга рассчитана на старшеклассников и студентов младших курсов, может быть использована в работе математического кружка.
И.М. Яглом. «Геометрические преобразования». Том I – М.: ГИТТЛ, 1955. 284 с. Том II – М.: ГИТТЛ, 1956. 612 с.
Первый том книги посвящен движениям и преобразованиям подобия, второй – круговым (конформным) и линейным (проективным) преобразованиям. Существенную часть книги составляют задачи. Книга адресована школьникам старших классов, студентам младших курсов, учителям.
Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков. «Математические бильярды». М.: Наука, 1990. 288 с.
Рассказывается о поведении бильярдного шара на столе произвольной формы без луз. Описание этого поведения приводит к решению разнообразных вопросов математики и механики: задач о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об осциллографе и фигурах Лиссажу и др. На доступном школьникам языке вводятся понятия конфигурационного и фазового пространства, понятия геодезических на простейших двумерных поверхностях, предлагаются (с решениями) многочисленные интересные задачи.
В.В. Прасолов. «Рассказы о числах, многочленах и фигурах». М.: ФАЗИС, 1997. 104 с. (Библиотека «Ступени знаний», серия «Математика»)
Книга состоит из 21 рассказа – жемчужин арифметики, алгебры, геометрии и топологии. Автор старается на доступном для школьника уровне рассказать о разнообразных результатах «взрослой» математики – классической и современной.

Содержание

  1. Сопряжённые числа.
  2. Рациональная параметризация окружности.
  3. Суммы квадратов многочленов.
  4. Представления чисел в виде суммы двух квадратов.
  5. Любой ли узел можно развязать?
  6. Построение правильного 17-угольника.
  7. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
  8. Точки пересечения диагоналей правильных многоугольников.
  9. Кубические уравнения, связанные с треугольником.
  10. Уравнение Маркова.
  11. Целозначные многочлены.
  12. Точки Брокара.
  13. Многочлены Чебышёва.
  14. Метод усреднения и геометрические неравенства.
  15. Хроматический многочлен графа.
  16. Диофантовы уравнения для многочленов.
  17. Прямые Паскаля.
  18. Теоремы о бабочке и о двух бабочках.
  19. Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии.
  20. Изогонально сопряжённые точки.
  21. Кубические кривые, связанные с треугольником.
М.М. Постников. «Введение в теорию алгебраических чисел». М.: Наука, 1982. 240 с.
Книга является введением в теорию алгебраических чисел. Основные понятия и идеи этой теории изложены в ней в связи с теоремой Ферма. Читатель видит, что их появление не случайно и диктуется логикой решения задачи. Книга предназначена школьникам старших классов (в её первых главах), студентам, учителям и всем любителям математики. Она может быть интересна и более квалифицированным читателям, которые хотят познакомиться с теорией алгебраических чисел в её классическом аспекте.

Содержание

  1. История теоремы Ферма
  2. Теорема Жермен.
  3. Теорема Ферма для показателя 4.
  4. Теорема Ферма для показателя 3.
  5. Арифметика кольца D3.
  6. Поле Kl и кольцо Dl.
  7. Единицы кольца Dl.
  8. Первый случай теоремы Ферма.
  9. Теория дивизоров.
  10. Второй случай теоремы Ферма.
  11. Теория идеалов.
  12. Целые алгебраические числа.
  13. Куммеровы простые читсла.
  14. Свойства дивизоров.
  15. Дзета-функция поля Kl и её вычет при s=1.
  16. Формула Эйлера и L-ряды Дирихле.
    Добавление. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

СЕРИИ БРОШЮР

«Библиотека „Математическое просвещение”». М.: МЦНМО.
Большинство брошюр серии – обработки лекций, прочитанных на Малом мехмате. Аннотации и электронные версии брошюр размещены на сайте МЦНМО.
«Популярные лекции по математике». 1960–1990.
В серии вышло свыше 60 брошюр. Перечислим лишь некоторые из них:
  • Выпуск 1. А.И. Маркушевич. «Возвратные последовательности».
  • Выпуск 5. П.П. Коровкин. «Неравенства».
  • Выпуск 6. Н.Н. Воробьев. «Числа Фибоначчи».
  • Выпуск 8. А.О. Гельфонд. «Решение уравнений в целых числах».
  • Выпуск 15. И.Р. Шафаревич. «Решение уравнений высших степеней».
  • Выпуск 19. Л.А. Люстерник. «Кратчайшие линии».
  • Выпуск 22. В.Г. Болтянский. «Равновеликие и равносоставленные фигуры».
  • Выпуск 23. А.С. Смогоржевский. «О геометрии Лобачевского».
  • Выпуск 29. А.Н. Костовский. «Геометрические построения одним циркулем».
  • Выпуск 32. Е.С. Вентцель. «Элементы теории игр».
  • Выпуск 39. Н.Н. Воробьев. «Признаки делимости».
  • Выпуск 40. C.В. Фомин. «Системы счисления».
  • Выпуск 43. В.А. Успенский. «Треугольник Паскаля».
  • Выпуск 50. В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. «Разбиение фигур на меньшие части».
  • Выпуск 57. В.А. Успенский. «Теорема Гёделя о неполноте».
  • Выпуск 60. Ю.А. Шашкин. «Неподвижные точки».
Электронные версии ряда брошюр доступны по адресу http://plm.mccme.ru/.

СБОРНИКИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ

Й. Кюршак, Д. Нейкомм, Д. Хайош, Я. Шурани. «Венгерские математические олимпиады». Перевод с венгерского Ю.А. Данилова под редакцией и с предисловием В.М. Алексеева. М.: Мир, 1976. 544 с.
В книге собраны задачи венгерских олимпиад 1894–1974 годов. Задачи отличаются оригинальностью, неожиданностью постановки, глубиной и, как правило, допускают простые и ясные решения. Книга рассчитана на учащихся старших классов, абитуриентов, студентов и всех, кто серьёзно увлечён математикой.
Н.Б. Васильев, А.А. Егоров. «Задачи Всесоюзных математических олимпиад». (Библиотека математического кружка, выпуск 18) М.: Наука, 1988. 288 с.
Содержит около 450 задач, предлагавшихся на заключительных турах математических олимпида СССР. Задачи размещены в хронологическом порядке и снабжены решениями. Многие из них являются своеобразными математическими исследованиями, позволяющими читателю познакомиться с идеями и методами современной математики. Для школьников старших классов, учителей и руководителей математических кружков.
С. Берлов, С. Иванов, К. Кохась. «Петербургские математические олимпиады». СПб.: Лань, 1998. 448 c.
Книга адресована тем, кто любит, умеет или хочет научиться решать интересные и нестандартные математические задачи. В ней собраны задачи Санкт-Петербургских олимпиад 1994–98 годов. В добавлении приведены две задачи исследовательского характера. Подробные решния задач первого тура рассчитаны на неподготовленного читателя, в то же время некоторые решения задач других туров способны озадачить даже профессионала. Учителя и руководители математических кружков найдут здесь обширный материал для внеклассных занятий.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЗДАНИЯ

«Квант», физико-математический журнал для школьников и студентов.
Имеется электронный архив журнала.
«Математическое просвещение», ежегодный сборник.
Третья серия сборников «Математическое просвещение» выходит в издательстве МЦНМО с 1997 года (первые две – довоенная и серия 1958–61 гг.). Сборники содержат материалы по следующим разделам: проблемы современной математики, популярные лекции для школьников и студентов, материалы по истории и методологии математики, проблемы математического образования, научно-методические сообщения, хроника математической жизни, олимпиады и другие математические соревнования, задачи и проблемы. Хотя сборник и рассчитан на широкий круг читателей: школьников, студентов, преподавателей, уровень некоторых статей в нем, впрочем, требует значительных усилий со стороны читателя. Подобное чтение может быть рекомендовано тем, кто хочет всерьез разбираться с математическими вопросами, затрагиваемыми в статьях сборника.





Деление на уровни носит условный характер.

Ко всем книгам даны краткие аннотации. Чтобы ознакомиться с аннотацией, нажмите на название интересующей Вас книги.