МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Делимость 1 (3.02 и 6.02)

Вопросы

1.

Сколько делителей у числа а) 100? б) 1000? в) 100…000 (100 нулей)?

2.

Среди 4 последовательных чисел всегла найдется число, делящееся на 2 и число, делящееся на 3. Верно ли, что всегда найдется число, делящееся на 6?

3.

Чему может быть равен НОД(a,a+10)?

4.

Можно ли найти 100 последовательных составных чисел?

Задачи

5.

Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?

6.

Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

7.

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

8.

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

9.

Двое по очереди расставляют цифры (возможно, повторяющиеся) в таблицу 1x9. Если получившееся девятизначное число делится на а) 9 б) 11, то выигрывает первый игрок, иначе выигрывает второй. Кто выиграет при правильной игре.