МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Метод крайнего (27.01 и 30.01)

0.

Дано 2007 чисел. Сумма любых 5 из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

1.

Среди учащихся Филиала Малого Мехмата прошли соревнования по перетягиванию каната, в результате которого все оказались занесены в список по убыванию силы. Александр Давидович решил проверить, смогут ли любые трое перетянуть любых двоих. За какое наименьшее число перетягиваний он может это установить?

2.

Сколькими способами можно расставить в ряд числа от 1 до 100 так, чтобы соседние числа отличались не более, чем на 1?

3.

На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что по крайней мере одна из них бьёт не более двух других.

4.

Несколько гангстеров сидят за круглым столом и делят награбленное, причём доля каждого составляет ровно половину от суммы долей его соседей справа и слева. Докажите, что всем денег достанется поровну.

5.

У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из этих 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?

6.

Ночью на городской площади собралось 2007 гангстеров. Они не смогли мирно договориться, и каждый из них выстрелил в ближайшего к нему гангстера. Все они выстрелили одновременно, все попарные расстояния между гангстерами различны. Докажите, что не все гангстеры будут убиты.

Дополнительные задачи

7.

Доказать, что шахматную доску 4х4 клетки нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним ходом вернувшись на исходную клетку.

8.

200 солдат выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий солдат, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий солдат, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?

9.

На предвыборном собрании выступали кандидаты в депутаты. Через какое-то время первый кандидат сказал: «До этого момента здесь прозвучало ровно одно неверное утверждение». «А теперь два», - сказал второй. «А теперь три», - произнес третий и так далее. Наконец, 12-й сказал, что прозвучало ровно 12 неверных утверждений. Сколько раз соврали за время собрания, если известно, что по крайней мере одно из этих высказываний правдиво?