МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Математическая регата (10.02 и 13.02)

Тур первый

1.1

Грузовик едет со скоростью 65 км/ч, а за ним едет легковой автомобиль – со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти автомобили будут через две минуты после того, как легковой автомобиль догонит грузовик?

1.2

Верно ли, что: а) фигуры с равными площадями имеют равные периметры; б) фигуры с равными периметрами имеют равные площади? Ответы объясните.

1.3

В архипелаге каждый остров соединен мостом ровно с семью другими. Сколько в этом архипелаге островов, если мостов – 84?

Тур второй

Время - 15 минут, каждая задача - 7 баллов.

2.1

Решите ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, различным буквам – различные цифры): Б + БЕЕЕ = МУУУ.

2.2

Нарисуйте, как разрезать квадрат на два равных: а) пятиугольника; б) шестиугольника.

2.3

Жители города А говорят только правду, жители города В – только ложь, а жители города С – попеременно правду и ложь (то есть, из каждых двух высказанных ими утверждений, одно – истинно, а другое – ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!». «Где?» – спросил дежурный по части. «В городе С», – ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина, если известно, что через час после ее приезда пожар был потушен? Ответ объясните.

Тур третий

Время - 15 минут, каждая задача - 7 баллов.

3.1

Числа a и b – целые. Известно, что a + b = 100. Может ли сумма 7a + 3b равняться числу 627? Ответ объясните.

3.2

В сказочной стране 8 городов и из каждого города выходит ровно 4 дороги. Известно, что никакие две дороги не пересекаются. Нарисуйте карту этой страны, обозначив города точками, а дороги – отрезками.

3.3

В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено? Ответ объясните.

Тур четвертый

Время - 20 минут, каждая задача - 8 баллов.

4.1

Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа? Ответ объясните.

4.2

Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который также сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен Васиному? Ответ объясните.

4.3

В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдет?