МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 10 (29 ноября 2014 года)

Коренное населения Острова Рыцарей и Лжецов составляют рыцари, всегда говорящие чистую правду, и лжецы, которые всегда лгут.

1.

В компании из трёх аборигенов каждый заявил: «Здесь все, кроме меня, лжецы». Сколько может быть в этой компании рыцарей? Изменится ли ваш ответ, если аборигенов будет больше трёх?

2.

Придумайте такой вопрос, что (вне зависимости от ситуации, в которой он будет задан)

а)

любой островитянин ответит «да»;

б)

любой островитянин ответит «нет»;

в)

лжец ответит «нет», а рыцарь — «да».

3.

Как-то раз встретились два островитянина и один сказал другому: «По крайней мере один из нас — лжец». История умалчивает, ответил ли ему на это что-либо собеседник. Тем не менее, определите, кем являются оба.

4.

На Остров Рыцарей и Лжецов приехал путешественник и нанял себе проводника. Однажды, увидев вдали туземца, путешественник сказал проводнику: «Пойди и спроси у того человека: рыцарь он или лжец». Вскоре проводник вернулся и сказал: «Этот человек сказал, что он лжец». Кем был проводник, рыцарем или лжецом?

5.

Дом представляет собой куб 3×3×3, в котором каждый кубик 1×1×1 — квартира. У каждой квартиры один хозяин — либо рыцарь, либо лжец. Однажды все жители дома заявили: «Среди моих соседей ровно половина — лжецы».

а)

Кто живёт в углах куба?

б)

Сколько может быть лжецов среди хозяев дома?

в)

Решите пункт «б» для дома 5×5×5.
Два жителя считаются соседями, если их квартиры-кубики имеют общую грань.

6.

Один из пяти братьев испек маме пирог.
Андрей сказал: „Это Витя или Толя”.
Витя сказал: „Это сделал не я и не Юра”.
Толя сказал: „Вы оба шутите”.
Дима сказал: „Нет, один из них сказал правду, а другой — нет”.
Юра сказал: „Нет Дима, ты не прав”.
Мама знает, что трое из её сыновей всегда говорят правду. Кто испёк пирог?

7.

Вы оказались на распутье (раздвоении дороги) на Острове Рыцарей и Лжецов, и не знаете, куда идти. Навстречу идёт человек. Вы не знаете, рыцарь он или лжец. Вы можете задать один вопрос. Какой вопрос надо задать так, чтобы узнать, по какой дороге идти?

Задачи на дом

8.

Вы только что встретили рыцаря и хотите задать ему дважды один и тот же вопрос. Какой вопрос нужно задать, чтобы он наверняка ответил на этот вопрос по-разному? Решите аналогичную задачу на случай встречи с лжецом.

9.

Незнайка решил стать учителем математики. Он придумал 9 ребусов: \[ \begin{aligned} \mbox{ПИРОГ} &= \mbox{КУСОК;}\\ \mbox{ПИРОГ} &= \mbox{КУСОК} + \mbox{КУСОК;}\\ \mbox{ПИРОГ} &= \mbox{КУСОК} + \mbox{КУСОК} + \mbox{КУСОК;}\\ &\ldots\\ \mbox{ПИРОГ} &= \underbrace{\mbox{КУСОК} + \mbox{КУСОК} + \ldots + \mbox{КУСОК.}}_{\text{9 кусков}} \end{aligned} \] Он догадывается, что некоторые из этих ребусов не имеют решения, и хочет дать своим ученикам в качестве задачи тот из этих ребусов, который имеет решение и в котором число кусков как можно больше. Какой ребус следует выбрать Незнайке?

10.

Можно ли прямоугольник размером 4×8 разрезать на 9 квадратов?