МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Домашнее задание 25

1.

Среди четырех утверждений: 1) «число a делится на 2», 2) «число a делится на 4», 3) «число a делится на 12», 4) «число a делится на 24» три верных, а одно – неверное. Укажите какое и обоснуйте.

2.

У каждого их чисел от 1 до 1000000 вычислили сумму цифр. У каждого из получившихся чисел снова вычислили сумму цифр. И так далее, до тех пор пока не получились однозначные числа. Каких однозначных чисел получилось больше: единиц или двоек?

3.

Известно, что a² + b² + c² = ab + bc + ca. Докажите, что a = b = c.

4.

Докажите, что при игре в «двойные шахматы» (ходы делаются по обычным правилам, но каждый игрок делает два хода подряд) белые, как минимум, могут не проиграть.

5.

Имеется линейка без делений длиной 13 см. Какое наименьшее количество делений нужно нанести на эту линейку, чтобы ею можно было измерить любое расстояние от 1 до 13 см (с точностью до 1 см)?