МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Олимпиада

1.

Барон Мюнхгаузен рассказывал, что однажды он и его слуга подошли к реке. Моста не было, но около берега была лодка, в которой мог поместиться только один человек. Тем не менее, и барону, и слуге удалось переправиться на другой берег. Мог ли рассказ Мюнхгаузена быть правдой?

2.

Можно ли расставить по кругу шесть различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

3.

В какое наименьшее количество цветов надо раскрасить доску 100x100, чтобы никакие две соседние клетки (по горизонтали, вертикали или диагонали) не были окрашены в одинаковый цвет?

4.

В рождественских подарках Кролика, Тигры и других обитателей Волшебного леса было 55 хлопушек – у каждого не меньше двух. Тигра сразу же использовал свои хлопушки на то, чтобы узнать, едят тигры хлопушки или не едят. А все остальные свои хлопушки сберегли и на следующий день каждый подарил половину своих хлопушек Кролику на День Рождения. От этого число хлопушек у Кролика увеличилось в 10 раз. Сколько хлопушек продегустировал Тигра?

5.

Какое наименьшее количество плоских разрезов необходимо сделать, чтобы разрезать куб на 64 одинаковых маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать образовавшиеся части в любое место.

6.

В шахматном турнире каждый участник встретился с каждым ровно один раз (победа – 1 очко, поражение – 0, ничья – пол-очка). Все шахматисты набрали одинаковое количество очков. Если удалить любого участника и аннулировать результаты встреч с ним, то количество очков у всех остальных участников по-прежнему будет одинаковым. Верно ли, что все партии этого турнира закончились вничью?

Дополнительные задачи

7.

Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.

8.

Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?