МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Блинков Александр Давидович
2007/2008 учебный год

Пространственное воображение

1.
У Пети есть три фигуры, вырезанные из бумаги. Каждая из них с одной стороны белая, а с другой - серая. Какие из пяти прямоугольников, изображенных на рисунке, нельзя сложить из этих фигур?

2.
а) Тетраэдр б) куб разрезали по ребрам, выделенным жирными линиями (см. рисунки) и развернули. Нарисуйте получившиеся развертки.

3.
На каждом рисунке изображены два различных положения куба с заданной осью поворота (сверху - до поворота, снизу - после поворота). На верхнем кубе отмечены две его вершины, а на нижнем указано положение лишь одной из них. Отметьте положение второй вершины.

Рисунок к задаче 3

4.
На каждом рисунке изображены два различных положения многогранника: куба, тетраэдра или октаэдра. На верхнем рисунке дано его исходное положение, на втором - после некоторого перемещения в пространстве. На первом рисунке отмечены некоторые элементы многогранника. Отметьте их на втором.

Рисунок к задаче 4

5.
Представьте, что куб стоит на столе на одной своей вершине (так, что верхняя вершина расположена точно над нижней) и освещён прямо сверху. Какая в этом случае получается тень от куба? Нарисуйте ее.

6.
Из квадрата 5x5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2x2x2.

Дополнительные задачи

7.
Составьте куб 3x3x3 из красных, жёлтых и зелёных кубиков 1x1x1 так, чтобы в любом бруске 3x1x1 были кубики всех трёх цветов.

8.
Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек), но при этом на любых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать? (Укажите минимальное количество, приведите пример их расположения на гранях и докажите, что меньшим числом обойтись нельзя.)

9.
Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 см²; б) 2 см² ? Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.

Рисунок к задаче 3

Рисунок к задаче 4