МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Метод раскаски

1.

Шахматный король обошел всю доску 8х8, побывав в каждой клетке по одному разу и вернувшись последним ходом в исходную клетку. Докажите, что он сделал четное число диагональных ходов.

2.

На каждой из клеток размером 9х9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

3.

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

4.

Раскрасьте вершины графов в наименьшее количество цветов так, чтобы никакие две одноцветные вершины не были соединены ребром.

5.

Какое наибольшее количество прямоугольников 4х1 можно разместить в квадрате 6х6 (не нарушая границ клеток)?

6.

На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2008 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать не менее 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом (соприкасающимися считаются клетки, имеющие хотя бы одну общую вершину).

Дополнительные задачи

7.

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить 3 его грани, имеющие общую вершину, шестнадцатью бумажными прямоугольными полосками размером 1x3 ?

8.

Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы - равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120o в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрестках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрестке) встретятся?