МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Делимость

1.

Олег перемножил какие-то 7 подряд идущих чисел. Верно ли, что у него получилось число, оканчивающееся ровно на один ноль?

Олег собрал мешочек монет. Саша пересчитал их, и оказалось, что если разделить все монеты на пять равных кучек, то останется две лишние монеты. А если на четыре равные кучки - останется одна лишняя монета. В то же время монетки можно разделить на три равные кучки. Какое наименьшее число монет могло быть у Олега?

3.

Докажите, что нечетное количество делителей имеют только полные квадраты.

4.

Хулиганы Вася и Петя рвут школьную стенгазету. Вася рвёт каждый попавшийся ему кусок на 4 части, а Петя~--- на 7 частей. На следующий день уборщица нашла 2000 кусков. Докажите, что не все куски найдены.

5.

Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр - двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка - что код делится и на 3, и на Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?

6.

Придумайте 5 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

Дополнительные задачи

7.

Камни лежат в трех кучках: в одной — 51 камень, в другой — 49 камней, а в третьей — 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из четного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?