МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Неравенства и оценки

1.

Любые четыре из некоторых десяти гирек перевешивают любые три другие из этих гирек. Верно ли, что любые три из этих десяти гирек перевешивают любые две другие?

2.

Девять одинаковых воробьев склевывают меньше, чем 1001 зернышко, а десять таких же воробьев склевывают больше, чем 1100 зернышек. Сколько зернышек склевывает каждый воробей?

3.

Одним пакетиком чая можно заварить два или три стакана чая. Мила и Таня разделили коробку чайных пакетиков поровну. Мила заварила 57 стаканов чая, а Таня — 83 стакана. Сколько пакетиков могло быть в коробке?

4.

В фотоателье залетели 20 птиц — 8 скворцов, 7 трясогузок и 5 дятлов. Каждый раз, как только фотограф щелкнет затвором фотоаппарата, какая-то одна из птичек улетит (насовсем). Сколько кадров сможет сделать фотограф, чтобы быть уверенным: у него останется не меньше четырех птиц одного вида, и не меньше трех — другого?

5.

Аня, Ваня и Саня рисовали чертиков на чистых тетрадных листах. Экономная Аня нарисовала больше чертиков, чем Ваня и Саня вместе и израсходовала на это меньше всех листочков. А расточительный Ваня нарисовал меньше всех чертиков, но извел больше листочков, чем Аня и Саня вместе. Больше пяти чертиков на листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не менее 6 листочков.

6.

Расстояние от Гадюкина до Мартышкина не менее 9 км. На расстоянии не менее 1 км и не более 3 км от Гадюкина растет береза, а на расстоянии не менее 5 км и не более 7 км от Гадюкина растет дуб. Точно посередине между березой и дубом зарыт клад, причем это место находится не дальше 4 км от Мартышкина. На каком расстоянии от Гадюкина зарыт клад?

Дополнительные задачи

7.

Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

8.

Али-Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов — 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какое наибольшее количество денег он может получить за сокровища, которые он принесет из пещеры за один раз?

9.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев (Подразумевается, что каждый шалтай и каждый болтай стоят целое число копеек) Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит: а) 80 коп.; б) одного рубля.

10.

На одной стороне улицы стояло 150 фонарей, причем среди любых трех фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит. После того, как электрик Петров починил несколько фонарей, оказалось, что среди любых четырех стоящих подряд фонарей осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.