МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Весенний математический бой

1.
В конце четверти Вовочка выписал подряд свои текущие отметки по алгебре и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая оценка выходит у Вовочки по алгебре в четверти? (,,Колов'' учитель не ставит.)
2.
В детском саду каждая тарелка украшена пятью розочками (по кругу); розочки бывают трёх цветов; все тарелки имеют различный рисунок. Какое наибольшее число тарелок может быть в этом детском саду?
3.
Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки H и K соответственно. KA = AB и HC = CB. Докажите, что треугольник KDH — равнобедренный.
Решение. CD = AB = KA, AD = BC = CH (т.к. ABCD — параллелограмм). ∠KAD = ∠AKB, ∠DCH = ∠CHB как накрест лежащие углы. ∠AKB = ∠KBA = ∠CHB как углы при основаниях равнобедренных треугольников. Итак, ∠KAD = ∠DCH, CD = KA, AD = CH. Треугольники KAD и DCH равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому KD = DH, что и требовалось.
4.
Какое наибольшее число точек можно разместить в круге радиуса 1 (включая границу) так, чтобы попарные расстояния между ними были равны [не больше] 1?
5.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABC и A1B1C1.
Решение. Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника ABC. Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) ΔABC. Опишем около ΔABC окружность и продолжим высоты до пересечения с ней. Пусть высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются с этой окружностью в точках A2, B2 и C2 соответственно. По свойству вписанного угла ∠ACB2 = ∠B2BA. ∠B1HC = ∠C1HB как вертикальные, откуда ∠C1BH = ∠CHB1. Итак, ∠B1CB2 = ∠B2BA = ∠B1CH. В треугольнике B2CH отрезок CB1 является одновременно высотой и биссектрисой. Значит, это равнобедренный треугольник, и CB1 есть его медиана, то есть B2B1 = B1H. По той же причине A2A1 = A1H и C2C1 = C1H. Отсюда следует, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны с коэффициентом 2. Поэтому радиус описанной окружности ΔA1B1C1 относится к радиусу описанной окружности ΔA2B2C2 (она же описанная окружность ΔABC) как 1:2.

Случай прямоугольного треугольника вырожден и тривиален, а случай тупоугольного сводится к остроугольному, если поменять местами вершину тупого угла и ортоцентр.

6.
Точка O лежит в основании пирамиды SA1...An, причём SA1 = ... = SAn и S1O = ... = ∠SnO. При каком наименьшем n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS