|
|
|
|
|
|
Кружок 9-10 класса
Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов 2006/2007 учебный год
Весенний математический бой
- 1.
-
В конце четверти Вовочка выписал подряд свои текущие отметки по
алгебре и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение
получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая оценка выходит у
Вовочки по алгебре в четверти? (,,Колов'' учитель не ставит.)
- 2.
-
В детском саду каждая тарелка украшена пятью розочками (по кругу);
розочки бывают трёх цветов; все тарелки имеют различный рисунок.
Какое наибольшее число тарелок может быть в этом детском саду?
- 3.
-
Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны
точки H и K соответственно. KA = AB и HC = CB. Докажите,
что треугольник KDH — равнобедренный.
Решение
Решение.
CD = AB = KA, AD = BC = CH (т.к. ABCD — параллелограмм).
∠ KAD = ∠ AKB,
∠ DCH = ∠ CHB как накрест
лежащие углы. ∠ AKB = ∠ KBA =
∠ CHB как углы при основаниях равнобедренных
треугольников. Итак, ∠ KAD = ∠ DCH,
CD = KA, AD = CH. Треугольники KAD и DCH равны по первому признаку
равенства треугольников, поэтому KD = DH, что и требовалось.
- 4.
-
Какое наибольшее число точек можно разместить в круге
радиуса 1 (включая границу) так, чтобы попарные расстояния
между ними были равны [не больше] 1?
- 5.
-
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников
ABC и A1B1C1.
Ответ Решение
Решение.
Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника ABC. Пусть H
— ортоцентр (точка пересечения высот) Δ ABC. Опишем около
Δ ABC окружность и продолжим высоты до пересечения с ней. Пусть
высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются с этой окружностью в
точках A2, B2 и C2 соответственно. По свойству вписанного
угла ∠ ACB2 = ∠ B2BA. ∠ B1HC = ∠ C1HB как
вертикальные, откуда ∠ C1BH = ∠ CHB1. Итак,
∠ B1CB2 = ∠ B2BA = ∠ B1CH. В треугольнике
B2CH отрезок CB1 является одновременно высотой и биссектрисой.
Значит, это равнобедренный треугольник, и CB1 есть его медиана, то есть
B2B1 = B1H. По той же причине A2A1 = A1H и C2C1 = C1H. Отсюда
следует, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны с коэффициентом
2. Поэтому радиус описанной окружности Δ A1B1C1 относится к
радиусу описанной окружности Δ A2B2C2 (она же описанная
окружность Δ ABC) как 1:2.
Случай прямоугольного треугольника вырожден и тривиален, а случай
тупоугольного сводится к остроугольному, если поменять местами вершину
тупого угла и ортоцентр.
- 6.
-
Точка O лежит в основании пирамиды SA1...An,
причём SA1 = ... = SAn и
∠S1O = ... =
∠SnO.
При каком наименьшем n отсюда следует, что
SO — высота пирамиды?
|