МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 4. Площади

1.
а)
На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M. Площадь треугольника BMC равна S. Какова площадь параллелограмма?
б)
Пусть теперь точка M взята внутри параллелограмма и соединена со всеми вершинами (см. рисунок). Площадь заштрихованной части параллелограмма равна S. Найдите площадь параллелограмма.
2.
Докажите, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
3.
На сторонах треугольника ABC взяты точки P, Q и R, делящие его стороны в отношениях BP : PC = p, CQ : QA = q, AR : RB = r. Чему равно отношение площадей треугольников PQR и ABC?
4.
Многоугольник периметра P описан около окружности радиуса r. Найдите площадь многоугольника.
5.
Могут ли длины высот треугольника равняться 1, 2 и 3?
6.
Каждая сторона а) треугольника A1A2A3, б) выпуклого четырёхугольника A1A2A3A4, в) выпуклого n-угольника A1A2...An продолжена на свою длину так, что точка Ai — середина отрезка Ai-1A'i, A1 — середина отрезка AnA'1 (в пунктах а) и б) n=3 и n=4 соответственно). Площадь исходного многоугольника равна S. Найдите площадь полученного многоугольника A'1A'2...A'n.
Задачи для тех, кто не любит геометрию:
7.
В некоторой стране любые два города соединены либо железной дорогой, либо авиалинией. Докажите, что либо в случае забастовки авиадиспетчеров, либо в случае забастовки машинистов можно будет добраться из каждого города в каждый.
8.
25 жуков сидели по одному в клетках квадратной доски 5×5. Каждый перелетел на соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. Докажите, что хотя бы одна клетка освободилась.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS