МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 4. Площади

1.
а)
На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка M. Площадь треугольника BMC равна S. Какова площадь параллелограмма?
б)
Пусть теперь точка M взята внутри параллелограмма и соединена со всеми вершинами (см. рисунок). Площадь заштрихованной части параллелограмма равна S. Найдите площадь параллелограмма.
2.
Докажите, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
3.
На сторонах треугольника ABC взяты точки P, Q и R, делящие его стороны в отношениях BP : PC = p, CQ : QA = q, AR : RB = r. Чему равно отношение площадей треугольников PQR и ABC?
4.
Многоугольник периметра P описан около окружности радиуса r. Найдите площадь многоугольника.
5.
Могут ли длины высот треугольника равняться 1, 2 и 3?
6.
Каждая сторона а) треугольника A1A2A3, б) выпуклого четырёхугольника A1A2A3A4, в) выпуклого n-угольника A1A2...An продолжена на свою длину так, что точка Ai — середина отрезка Ai-1A'i, A1 — середина отрезка AnA'1 (в пунктах а) и б) n=3 и n=4 соответственно). Площадь исходного многоугольника равна S. Найдите площадь полученного многоугольника A'1A'2...A'n.
Задачи для тех, кто не любит геометрию:
7.
В некоторой стране любые два города соединены либо железной дорогой, либо авиалинией. Докажите, что либо в случае забастовки авиадиспетчеров, либо в случае забастовки машинистов можно будет добраться из каждого города в каждый.
8.
25 жуков сидели по одному в клетках квадратной доски 5×5. Каждый перелетел на соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. Докажите, что хотя бы одна клетка освободилась.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS