МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 13. Многочлены

1.
Докажите, что если x0 — корень многочлена P(x), то P(x) делится на (xx0).
2.
Докажите теорему Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (xa) равен значению многочлена P(x) при x=a.
3.
Докажите, что если многочлен P делится на многочлен Q, то все корни Q являются корнями P. Верно ли обратное утверждение?
4.
Докажите, что многочлен степени n имеет не более n корней.
5.
а)
Докажите, что для любых a0, ..., an − 1 существует такое число C, что при всех x > C верно неравенство xn > an − 1 xn − 1 + an − 2 xn − 2 + ... + a1 x + a0.
б)
Докажите, что любой многочлен нечётной степени имеет действительный корень.
6.
(теорема Виета)
а)
Пусть квадратный трёхчлен a(x) = x² + px + q разкладывается на линейные множители: a(x) = (xx1)(xx2). Докажите формулы Виета: x1 + x2 = − p, x1 x2 = q.
б)
Пусть кубический четырёхчлен b(x) = x³ + px² + qx + r раскладывается на линейные множители: b(x) = (xx1)(xx2) (xx3). Докажите, что x1 + x2 + x3 = − p, x1x2 + x2x3 + x1x3 = q, x1x2x3 = − r.
в*)
Выведите аналогичные формулы для многочлена произвольной степени, раскладывающегося на линейные множители.
7.
Пусть многочлен P таков, что для всех x P(x) = P( − x). Может ли P содержать нечётные степени x?
8.
Пусть значения многочленов P и Q совпадают при n различных значениях переменной, и степени этих многочленов меньше n. Докажите, что тогда P = Q.
9.
Докажите, что для любых различных чисел a1, ..., an и для любых чисел b1, ..., bn существует единственный многочлен P(x) степени меньше n, такой что P(a1) = b1, ..., P(an) = bn (этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа).
10.
Найдите суммы всех коэффициентов следующих многочленов: а) (x − 1)1000, б) x(x + 1)(x + 2)... (x + 2007).
11.
Упростите выражение: (xa)(xb) ... (xz).

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS