МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 2 для 9 класса. Делимость

1.

Что можно точно утверждать про натуральное число n, если известно, что 105n кратно 30: а) n кратно 2; б) n кратно 6; в) n кратно 30?

2.

Для каждого натурального n через φ(n) обозначим количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n. Найти а) φ(p); б) φ(p²), где p простое; в) φ(1024). г) Функция φ возрастает?

3.

Доказать, что натуральное число имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом.

4.

Про рациональное число x известно, что x + ¹/_x — натуральное число. Доказать, что x = 1.

5.

Про целые числа m и n известно, что m² + n² кратно 3. Доказать, что m и n кратны 3.

6.

Квадрат натурального числа оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами. Какими?

7.

Найти все натуральные n, при которых 3ⁿ + 1 кратно 2ⁿ.