МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 2 для 9 класса. Делимость

1.
Что можно точно утверждать про натуральное число n, если известно, что 105n кратно 30: а) n кратно 2; б) n кратно 6; в) n кратно 30?
2.
Для каждого натурального n через φ(n) обозначим количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n. Найти а) φ(p); б) φ(p2), где p простое; в) φ(1024). г) Функция φ возрастает?
3.
Доказать, что натуральное число имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда оно является полным квадратом.
4.
Про рациональное число x известно, что x + 1/x — натуральное число. Доказать, что x = 1.
5.
Про целые числа m и n известно, что m2 + n2 кратно 3. Доказать, что m и n кратны 3.
6.
Квадрат натурального числа оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами. Какими?
7.
Найти все натуральные n, при которых 3n + 1 кратно 2n.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS