МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 19. Задачи на максимум и минимум

1.

На какие а) две части, б) n частей нужно разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

2.

Докажите, что сумма а) двух, б) нескольких чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.

3.

Пусть x₁ < x₂ < ... < x_n. Найдите такую точку x на числовой прямой, что сумма расстояний от x до x_i принимает наименьшее значение.

4*.

(задача по геометрии) Найдите наименьшее значение выражения .

5.

Докажите, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

6.

Среди всех треугольников ABC с данными сторонами AB и BC найдите треугольник наибольшей площади.

7.

Дана прямая l и две точки A и B, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой l. Найдите такую точку X на прямой l, что AX + BX принимает наименьшее значение.

8.

Луч света, идущий из точки A, приходит в точку B, отразившись от плоского зеркала . Докажите, что, подчиняясь закону отражения (угол падения равен углу отражения), луч выбирает кратчайший путь.

9.

Дан многоугольник, симметричный относительно точки O. Докажите, что для этой точки сумма расстояний до вершин многоугольника является наименьшей.

10*.

(задача Ферма – Торричелли) Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного треугольника является наименьшей.

11*.

(задача Фаньяно) Дан остроугольный треугольник ABC. Для каких точек K, L и M, лежащих на стронах BC, AC и AB соответственно, периметр треугольника KLM принимает наименьшее значение?

12*.

(задача Дидоны) Докажите, что из всех фигур с заданной длиной границы наибольшей площадью обладает круг.