МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 0. Вступительная работа

1.
Предположим, что 12 из 13 родов завершаются рождением одного ребёнка, а в одном случае из 13 рождаются двое — близнецы. Какую часть общего числа новорождённых составляет число новорождённых близнецов?
2.
Плывя по течению реки Миссисипи, доктор Айболит на середине своего пути из Дюбюка в Клинтон встретил своего старого друга Бармалея, плывущего против течения из Клинтона в Дюбюк. Если предположить, что доктор Айболит плыл вдвое медленнее течения, а скорость Бармалея вдвое превысила скорость течения реки, то кто из них плыл дольше по времени до места их встречи и во сколько раз?
3.
Карабас Барабас зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, затем повернуть к четвёртому и пройти четверть расстояния до него, и т.д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, Карабас забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам Барабаса, чтобы всё-таки найти клад?
4.
Пусть a, b, c положительные числа. Докажите, что
a + b + c 3 ,
b + c c + a a + b 2
и что равенство имеет место тогда и только тогда, когда a = b = c.
5.
Какова максимальная площадь прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого составляет 1 световой год?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS