МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 11. Гомотетия

Определение. Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k ≠ 0 называется преобразование плоскости, при котором точка A переходит в точку A', которая лежит на прямой OA и OA' = k · OA, причём при k > 0 точки A и A' лежат по одну, а при k < 0 — по разные стороны от точки O.

0.: Докажите, что гомотетия а) переводит прямые в прямые, окружности в окружности; б) сохраняет отношения длин отрезков и углы между прямыми; в) сохраняет длины отрезков (является движением) тогда и только тогда, когда её коэффициент равен 1 или − 1.
1.: Докажите, что композиция (результат последовательного применения) двух гомотетий с коэффициентами k₁ и k₂, где k₁ k₂ ≠ 1, есть гомотетия, причём центры всех трёх гомотетий лежат на одной прямой. Что будет в случае k₁ k₂ = 1?
2.: Докажите, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.
3.: Найдите геометрическое место середин всех отрезков, один конец которых находится в данной точке, а второй лежит на данной окружности.
4.: Даны две окружности радиусов R и r. Найдите геометрическое место середин всех отрезков, один конец которых находится на первой, а другой — на второй окружности.
5.: Впишите квадрат в данный треугольник (две вершины должны лежать на одной стороне, две остальные — по одной на каждой из двух оставшихся).
6.: Даны треугольники ABC и KLM. Впишите в треугольник ABC треугольник A₁ B₁ C₁, стороны которого параллельны сторонам треугольника KLM.
7.: Два неравных квадрата имеют параллельные стороны. Докажите, что четыре прямые, соединяющие соответственные вершины их, пересекаются в одной точке.
8.: В окружности проведены два радиуса. Постройте хорду, которая делится этими радиусами на три равные части.
9.: Докажите, что точки пересечения высот, медиан и серединных перпендикуляров треугольника лежат на одной прямой. В каком отношении одна из этих точек делит отрезок между двумя другими?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!