МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 2 для 10 класса. Числа-автоморфы

1.

Докажите, что

а)

если натуральное число оканчивается цифрой 0, 1, 5, 6, то такой же цифрой оканчивается его квадрат;

б)

если натуральное число оканчивается одной из пар цифр 00, 01, 25, 76, то той же парой цифр оканчивается его квадрат;

в)

если натуральное число оканчивается одной из троек цифр 000, 001, 625, 376, то той же тройкой цифр оканчивается его квадрат.

2.

Сколько четырёхзначных чисел удовлетворяют сравнению x² ≡ x (mod 10000)?

3.

Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00...00, 00..01, и ещё два, оканчивающиеся пятёркой и шестёркой, — обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.

4.

Докажите, что при любых k и m > 2 все решения сравнения x² ≡ x (mod 10^k) будут решениями сравнения x^m ≡ x (mod 10^k).

5.

Сколько существует решений сравнения x³ ≡ x (mod 10^k)?

6

Докажите, что сравнение x⁴ ≡ x (mod 10^k) имеет в точности те же решения, что и сравнение x² ≡ x (mod 10^k).

7.

Сколько существует решений сравнения x⁵ ≡ x (mod 10^k)?