МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 2 для 10 класса. Числа-автоморфы

1.
Докажите, что
а)
если натуральное число оканчивается цифрой 0, 1, 5, 6, то такой же цифрой оканчивается его квадрат;
б)
если натуральное число оканчивается одной из пар цифр 00, 01, 25, 76, то той же парой цифр оканчивается его квадрат;
в)
если натуральное число оканчивается одной из троек цифр 000, 001, 625, 376, то той же тройкой цифр оканчивается его квадрат.
2.
Сколько четырёхзначных чисел удовлетворяют сравнению x2x (mod 10000)?
3.
Докажите, что при любом k существует ровно 4 набора из k цифр — 00...00, 00..01, и ещё два, оканчивающиеся пятёркой и шестёркой, — обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.
4.
Докажите, что при любых k и m > 2 все решения сравнения x2x (mod 10k) будут решениями сравнения xmx (mod 10k).
5.
Сколько существует решений сравнения x3x (mod 10k)?
6
Докажите, что сравнение x4x (mod 10k) имеет в точности те же решения, что и сравнение x2x (mod 10k).
7.
Сколько существует решений сравнения x5x (mod 10k)?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS