МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Зимний математический бой

1.
Найдите все такие пары взаимно простых целых положительных чисел a и b, что дробь a/b в десятичной записи имеет вид b,a.
2.
В треугольнике ABC AB = c, AC = b, b > c, AD — биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная AD и пересекающая AC в точке E. Найдите AE.
3.
Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 1 − 7a, 7 − 6a, 5 − 3a и 14a + 5? Найдите все значения a, при которых эта максимальная площадь достигается.
4.
Функция f удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1 (для всех x). Известно, что f(0) = 0. Чему равно f(2006)?
5.
Дан квадрат со стороной a. С центрами в вершинах квадрата построили дуги окружностей радиуса a, заключённые в квадрате. Найдите площадь заштрихованной (см. чертёж) области. (Площадь круга радиуса R равна π R2.)
6.
На шахматной доске 8×8 стоят ладьи — по одной на каждой горизонтали и каждой вертикали. Доску разбили на 4 равных квадрата. Докажите, что число ладей в правом верхнем квадрате равно числу ладей в левом нижнем квадрате.
Задача конкурса капитанов:
Вася отметил на плоскости точку симпатическими чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить прямую и спросить у Васи, по какую сторону от прямой лежит точка. Какое наименьшее число вопросов потребуется задать, чтобы узнать, лежит ли точка внутри квадрата?