|
|
|
|
|
|
Кружок 9-10 класса
Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов 2006/2007 учебный год
Листок 10 для 9 класса. Вписанный угол
Определение. Угол называется вписанным в окружность, если
его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту
окружность.
Вписанный угол обладает следующим свойством: пусть точки
A, B и C лежат на окружности с центром O. Тогда
∠ ABC = ½ ∠ AOC, если B и O лежат по
одну сторону от AC, и
∠ ABC = π - ½ ∠ AOC
в противном случае (π — развёрнутый угол).
- 0.
-
Докажите это свойство.
- 1.
-
Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника является
диаметром его описанной окружности.
- 2.
-
Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом
C и медианой CM
∠ CMA = 2 ∠ CBA.
- 3.
-
Докажите, что круги, построенные на двух сторонах треугольника,
как на диаметрах, полностью покрывают этот треугольник.
- 4.
-
Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K
проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую
окружность в точках A и C, а вторую в точках B и D. Докажите,
что прямые AC и BD параллельны.
- 5.
-
Докажите, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только
тогда, когда она равнобедренная.
- 6.
-
Пусть точки A, B, C и D лежат на окружности в указанном
порядке. Докажите, что угол между хордами AC и BD равен
½ (∪ AB + ∪ CD),
а угол между хордами AB и
CD равен
½ |∪ AD - ∪ CB|
( ∪ MN называется
угловой величиной дуги MN и равна ∠ MON.)
- 7.
-
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O.
Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что
∠ OAH = |∠ ABC - ∠ ACB|.
- 8.
-
Точки A и B лежат на окружности; l — касательная к этой
окружности в точке A. Докажите, что угол между l и AB равен
половине угловой величины дуги AB.
- 9.
-
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P.
Точки B, C на S2 и D на S1 таковы, что AB есть
касательная к S1, P лежит на прямой CD, которая параллельна
AB (все упомянутые точки различны). Докажите, что ABCD —
параллелограмм.
- 10.
-
Дан четырёхугольник, около которого можно описать окружность.
Две его смежные стороны равны. Докажите, что одна из его диагоналей
является биссектрисой угла четырёхугольника.
- 11.
-
Докажите, что описанная около треугольника ABC окружность,
биссектриса ∠ B и серединный перпендикуляр к стороне AC
пересекаются в одной точке.
|