МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 10 для 9 класса. Вписанный угол

Определение. Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол обладает следующим свойством: пусть точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Тогда ∠ ABC = ½ ∠ AOC, если B и O лежат по одну сторону от AC, и ∠ ABC = π - ½ ∠ AOC в противном случае (π — развёрнутый угол).
0.
Докажите это свойство.
1.
Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности.
2.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и медианой CM ∠ CMA = 2 ∠ CBA.
3.
Докажите, что круги, построенные на двух сторонах треугольника, как на диаметрах, полностью покрывают этот треугольник.
4.
Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, а вторую в точках B и D. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
5.
Докажите, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.
6.
Пусть точки A, B, C и D лежат на окружности в указанном порядке. Докажите, что угол между хордами AC и BD равен ½ (∪ AB + ∪ CD), а угол между хордами AB и CD равен ½ |∪ AD - ∪ CB| ( ∪ MN называется угловой величиной дуги MN и равна ∠ MON.)
7.
Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что ∠ OAH = |∠ ABC - ∠ ACB|.
8.
Точки A и B лежат на окружности; l — касательная к этой окружности в точке A. Докажите, что угол между l и AB равен половине угловой величины дуги AB.
9.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Точки B, C на S2 и D на S1 таковы, что AB есть касательная к S1, P лежит на прямой CD, которая параллельна AB (все упомянутые точки различны). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
10.
Дан четырёхугольник, около которого можно описать окружность. Две его смежные стороны равны. Докажите, что одна из его диагоналей является биссектрисой угла четырёхугольника.
11.
Докажите, что описанная около треугольника ABC окружность, биссектриса ∠ B и серединный перпендикуляр к стороне AC пересекаются в одной точке.