|
|
|
|
|
|
Кружок 9-10 класса
Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов 2006/2007 учебный год
Листок 12. Раскраски
- 1.
-
Плоскость разбита на части несколькими прямыми.
Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета
так, что соседние (пересекающиеся по отрезку) части
будут покрашены в разный цвет.
- 2.
-
Прямая раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней
найдутся три одноцветные точки A, B и C такие, что
AB = BC.
- 3.
-
Плоскость раскрасили в χ цветов так, что любые
две точки, находящиеся на расстоянии 1 друг от друга,
раскрашены в разные цвета. а) Докажите, что при χ = 3
это невозможно. б) Придумайте пример такой раскраски при
χ = 7.
Замечание. Возникает естественный вопрос: для какого
минимального χ такая раскраска существует (это минимальное
χ называется хроматическим числом плоскости)? Ответ на
него науке не известен.
- 4.
-
Раскрасьте плоскость в два цвета так, чтобы вершины любого
равностороннего треугольника со стороной 1 не были покрашены
в один цвет.
- 5.
-
Докажите, что любая четырёхцветная плоскость содержит две
одноцветные точки на расстоянии либо 1, либо
½ (5½ - 1)
(это число называется золотым сечением).
- 6.
-
Из шахматной доски вырезали верхнее левое и нижнее правое поля. Можно
ли остаток разрезать на доминошки (дощечки 1 × 2)?
- 7.
-
Фигура „верблюд” ходит по доске 10 × 10 следующим образом:
сначала она сдвигается на соседнее поле, а потом ещё на три поля в
перпендикулярном направлении. Может ли „верблюд” за несколько ходов
перейсти с какого-то исходного поля на соседнее с ним?
- 8.
-
Фигура „слонёнок” ходит по шахматной доске, как и слон, по
диагонали, но только на одно поле. Можно ли раскрасить клетки шахматной
доски в два цвета так, чтобы при каждом ходе „слонёнок” переходил
на поле другого цвета? Если да, то сколько существует таких раскрасок?
- 9.
-
Игра <<15>> представляет собой квадратную коробочку 4 × 4
с фишками, занумерованными числами от 1 до 15. В начале игры пустое
поле располагалось в правом нижнем углу. За один ход я сдвигал одну
фишку на соседнее с ней пустое поле. Через несколько ходов порядок фишек
изменился, но пустое поле вновь оказалось в правом нижнем углу. Докажите,
что я сделал чётное число ходов.
- 10.
-
Пространственный лабиринт состоит из 27 кубических комнат, расположенных
в виде куба 3× 3× 3. Из любой комнаты можно перейти в любую
соседнюю (через любую стену, пол или потолок). Исследователь лабиринта
находится в центральной комнате. Сможет ли он пройти по всем комнатам, не
проходя ни одной комнаты дважды?
|