МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 9. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек есть постоянная положительная величина. Фиксированные точки называются фокусами гиперболы.

1.: Пусть 2c — расстояние между фокусами, 2a — модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов. Введите декартову систему координат Oxy так, чтобы фокусы F₁ и F₂ имели координаты F₁(−c, 0) и F₂(c, 0), и докажите, что в ней уравнение гиперболы имеет вид ^x²/_a² − ^y²/_b² = 1, где b² = c² − a².
2.: Дана гипербола y = ¹/_x. Введите декартову систему координат Oxy так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ox. Какие координаты будут иметь фокусы F₁ и F₂? Какой вид будет иметь уравнение этой гиперболы?

Определение. Касательной к гиперболе в точке M называется прямая, не параллельная асимптоте гиперболы и не имеющая с гиперболой общих точек кроме точки M.

3.: Докажите, что касательная к гиперболе с фокусами F₁ и F₂ в точке M является биссектрисой угла треугольника F₁F₂M.
4.: Докажите, что луч света, выпущенный из фокуса гиперболического зеркала, после отражения пойдёт так, как если бы он вышел из другого фокуса.
5.: Докажите, что отрезки, соединяющие точку гиперболы с фокусами, составляют равные углы с касательной к гиперболе в этой точке.
6.: Эллипс и гипербола имеют общие фокусы. В точке их пересечения к ним провели касательные. Найдите угол между ними.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!