|
|
|
|
|
|
Кружок 9-10 класса
Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов 2006/2007 учебный год
Листок 7. Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости,
для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна.
Фиксированные точки называются фокусами эллипса.
- 1.
-
Пусть 2c — расстояние между фокусами, 2a
— сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введите декартову
систему координат Oxy так, чтобы фокусы F1 и
F2 имели координаты
F1(−c, 0) и
F2(c, 0), и докажите, что в ней уравнение
эллипса имеет вид:
x²/a² + y²/b² = 1, где
b² = a² − c².
- 2.
-
Лестница PQ, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз.
По какой линии движется котёнок M, сидящий на расстоянии
a от конца P лестницы и на расстоянии b
от конца Q?
- 3.
-
На координатной плоскости даны две концентрические окружности с центром в
точке O и радиусами a и b
(a > b). Из точки O провели луч,
пересекающий окружности в точках K и L. Затем через
точку K провели прямую, параллельную оси Ox,
а через точку L — прямую, параллельную оси Oy.
Пересечение этих прямых определяет точку M. Какую кривую
образуют полученные точки M?
Определение. Касательной к эллипсу в точке M называется
прямая, не имеющая с эллипсом общих точек кроме точки M.
- 4.
-
Докажите, что касательная к эллипсу с фокусами F1 и
F2 в точке M является биссектрисой внешнего
угла треугольника
F1F2M.
- 5.
-
Докажите, что луч света, выпущенный из фокуса эллиптического зеркала,
после отражения пройдёт через другой фокус.
|