МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 7. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса.
1.
Пусть 2c — расстояние между фокусами, 2a — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введите декартову систему координат Oxy так, чтобы фокусы F1 и F2 имели координаты F1(−c, 0) и F2(c, 0), и докажите, что в ней уравнение эллипса имеет вид: x²/a² + y²/b² = 1, где b² = a² − c².
2.
Лестница PQ, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок M, сидящий на расстоянии a от конца P лестницы и на расстоянии b от конца Q?

3.
На координатной плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами a и b (a > b). Из точки O провели луч, пересекающий окружности в точках K и L. Затем через точку K провели прямую, параллельную оси Ox, а через точку L — прямую, параллельную оси Oy. Пересечение этих прямых определяет точку M. Какую кривую образуют полученные точки M?

Определение. Касательной к эллипсу в точке M называется прямая, не имеющая с эллипсом общих точек кроме точки M.
4.
Докажите, что касательная к эллипсу с фокусами F1 и F2 в точке M является биссектрисой внешнего угла треугольника F1F2M.
5.
Докажите, что луч света, выпущенный из фокуса эллиптического зеркала, после отражения пройдёт через другой фокус.


Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS