МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 17 для 9 класса. Многоугольники

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если для любых двух точек, лежащих внутри него, внутри него лежит также отрезок, их соединяющий (т.е. внутренность этого многоугольника является выпуклым множеством).

1.

Докажите, что следующие утверждения равносильны: 1) многоугольник M выпуклый; 2) все (внутренние) углы M меньше развёрнутого (180°); 3) M целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.

2.

Докажите, что сумма углов выпуклого n-угольника равна (n−2) · 180°.

3.

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

4.

Внутри комнаты, имеющей форму многоугольника, стоит свеча. Верно ли, что хотя бы одна из стен комнаты освещена полностью?

5*.

Докажите лемму о внутренней диагонали: любой многоугольник (кроме треугольника) имеет диагональ, целиком (кроме своих концов) лежащую внутри этого многоугольника. (Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.)

6.

Докажите, что любой многоугольник можно разбить на треугольники, все вершины которых являются вершинами исходного треугольника.

7.

Докажите, что утверждение задачи 2 верно для произвольного (не обязательно выпуклого) многоугольника.

8.

Дан многоугольник площади S, описанный около окружности радиуса r. Его периметр (сумма длин всех сторон) равен 2p. Докажите, что S = pr.