МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 18 для 9 класса. Клетчатая бумага. Формула Пика

В этих задачах рассматривается геометрия на клетчатой бумаге (решётке). Площадь одной клетки считается равной единице. Узлами решётки называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий. Многоугольник на решётке — многоугольник, все вершины которого являются узлами решётки. Простейший треугольник (на решётке) — треугольник на решётке, не содержащий ни внутри, ни на границе ни одного узла решётки, кроме своих вершин.
1.
Докажите, что а) всякий треугольник на решётке, б) всякий многоугольник на решётке можно разбить на простейшие треугольники.
Пусть дан многоугольник на решётке. Введём следующие обозначения: Ni — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника; Ne — число узлов, лежащих на границе (включая вершины).
2.
Докажите, что любое разбиение многоугольника на простейшие треугольники (см. второй пункт предыдущей задачи) состоит ровно из 2Ni + Ne − 2 треугольничков.
3.
Докажите, что удвоенная площадь любого треугольника на клетчатой бумаге является целым числом.
4*.
Докажите, что площадь любого простейшего треугольника равна ½.

Указание

Указание. Не стóит пытаться перебрать все возможные простейшие треугольники. Попробуйте придумать более хитрое рассуждение.
5.
Докажите, что площадь многоугольника на решётке равна Ni + ½Ne − 1 (формула Пика).
6.
Докажите правило параллелограмма: если три вершины данного параллелограмма являются узлами решётки, то четвёртая тоже является узлом решётки.
7*.
При каких n существует правильный n-угольник, все вершины которого являются узлами решётки?