МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 18 для 9 класса. Клетчатая бумага. Формула Пика

В этих задачах рассматривается геометрия на клетчатой бумаге (решётке). Площадь одной клетки считается равной единице. Узлами решётки называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий. Многоугольник на решётке — многоугольник, все вершины которого являются узлами решётки. Простейший треугольник (на решётке) — треугольник на решётке, не содержащий ни внутри, ни на границе ни одного узла решётки, кроме своих вершин.

1.: Докажите, что а) всякий треугольник на решётке, б) всякий многоугольник на решётке можно разбить на простейшие треугольники.

Пусть дан многоугольник на решётке. Введём следующие обозначения: N_i — число узлов, лежащих строго внутри многоугольника; N_e — число узлов, лежащих на границе (включая вершины).

2.: Докажите, что любое разбиение многоугольника на простейшие треугольники (см. второй пункт предыдущей задачи) состоит ровно из 2N_i + N_e − 2 треугольничков.
3.: Докажите, что удвоенная площадь любого треугольника на клетчатой бумаге является целым числом.
4*.: Докажите, что площадь любого простейшего треугольника равна ½.
Указание

Указание. Не стóит пытаться перебрать все возможные простейшие треугольники. Попробуйте придумать более хитрое рассуждение.
5.: Докажите, что площадь многоугольника на решётке равна N_i + ½Ne − 1 (формула Пика).
6.: Докажите правило параллелограмма: если три вершины данного параллелограмма являются узлами решётки, то четвёртая тоже является узлом решётки.
7*.: При каких n существует правильный n-угольник, все вершины которого являются узлами решётки?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!