МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Версия для печати

Листок 3. Центр масс

Определение. Точка Z называется центром масс системы точек A1, ..., An с массами m1, ..., mn соответственно (mi > 0), если m1 ZA1 + m2 ZA2 + ... + mn ZAn = 0 [имеется в виду равенство векторов].
1.
Докажите, что центр масс системы точек единствен [если он существует].
2.
а)
Пусть O — произвольная точка. Докажите, что OZ = m1 OA1 + ... + mn OAn/m1 + ... + mn тогда и только тогда, когда Z — центр масс системы точек A1, ..., An с массами m1, ..., mn.
б)
Докажите, что у любой системы точек существует центр масс.
3.
Докажите теорему о группировке масс: пусть Z — центр масс системы точек A1, ..., An с массами m1, ..., mn соответственно, а X — центр масс её части A1, ..., Ak, k < n (с теми же массами). Тогда Z является центром масс системы точек X, Ak + 1, ..., An с массами m1 + ... + mk, mk + 1, ..., mn соответственно.
4.
Найдите центр масс системы из двух точек A и B с массами a и b соответственно.
5.
В каждую вершину правильного n-угольника поместили единичную массу. Где находится центр масс получившейся системы точек?
6.
а) В вершины треугольника поместили единичные массы. Где находится центр масс получившейся системы точек? б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
7.
Поместив подходящие массы в вершины треугольника, докажите, что биссектрисы пересекаются в одной точке.
8.
Старый пират зарыл клад на острове среди 20 деревьев. После этого он написал завещание, в котором указал, как искать клад: надо встать к первому дереву, пройти половину расстояния до второго дерева, затем повернуть к третьему и пройти треть расстояния до него, затем повернуть к четвёртому и пройти четверть расстояния до него, и т.д., наконец, повернуть к двадцатому и пройти двадцатую часть расстояния до него. К сожалению, пират забыл указать, как занумерованы деревья! Сколько разных ям придётся выкопать потомкам пирата, чтобы всё-таки найти клад?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS