МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 8. Парабола

Определение. Параболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой. Фиксированная точка называется фокусом, фиксированная прямая — директрисой параболы. Прямая, проходящая через фокус, перпендикулярно директрисе, называется осью параболы.
1.
Пусть p — расстояние от фокуса до директрисы. Введите декартову систему координат Oxy так, чтобы фокус F имел координаты F(p/2, 0), а директриса пересекала ось Ox под прямым углом в точке (−p/2,0), и докажите, что в ней уравнение параболы имеет вид y2 = 2px.

2.
Докажите, что любые две параболы подобны друг другу.
3.
На координатной плоскости нарисован график функции y = x2. Координатные оси стёрты. Пользуясь циркулем и линейкой, восстановите оси и единичный отрезок.
Определение. Касательной к параболе в точке M называется прямая, не параллельная оси параболы и не имеющая с параболой общих точек кроме точки M.
4.
Докажите, что касательная к параболе с фокусом F в точке M является биссектрисой угла между прямой FM и прямой, параллельной оси параболы.
5.
Докажите, что луч света, выпущенный из фокуса параболического зеркала, после отражения пойдёт параллельно оси.