МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Письменная олимпиада (2.02 и 4.02)

1.

Решите ребус: АX х УХ = 2001

Ответ Решение

Ответ. A=2, У=6, Х=9 или А=9, У=2, Х=9

Решение. 2001=3х23х29. При этом последние цифры чисел АХ и УХ совпадают. Поэтому это числа 29=3х23 и 69.

2.

Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

Ответ Решение

Ответ. Может.

Решение. Приведём пример. Пусть кузнечик сперва прыгнет на 80 см вперёд, а потом 5 раз прынет назад на 50 см. Тогда он назад пропрыгает 250 см, а вперёд - 80 см, удалившись от начальной точки в конечном итоге на 170 см. А всего он сделал 6 прыжков.

3.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". Первый ответил: "Ни одного". Второй сказал: "Один". Что сказал третий?

Ответ Решение

Ответ. "Один"

Решение.

1.Пусть первый - рыцарь. Тогда и второй, и третий - лжецы. При этом второй скажет правду (среди его спутников действительно только один рыцарь - первый). Получаем противоречие с условием, ведь лжецы не могут говорить правду). Значит, наше предположение неверно, и первый - лжец.

2.Мы уже знаем, что первый - лжец. Пусть второй - тоже лжец. Тогда третий не может быть рыцарем (если третий - рыцарь, то второй (лжец!) говорит правду, а это противоречит условию задачи). А в этом случае первый (тоже лжец!) говорит правду, ведь среди его спутников действительно не оказалось рыцарей. Противоречие. Значит, второй - рыцарь.

3.Первый - лжец, второй - рыцарь. Отсюда следует, что третий (один из спутников второго) - тоже рыцарь. А значит, на вопрос о количестве рыцарей среди его спутников он ответит: "Один".

4.

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и размеру) части.

Ответ

Ответ.

5.

Метрострой нанял двух землекопов для рытья туннеля. Один из них может за час прокопать в два раза больше, чем другой, а платят за каждый час работы одинаково. Что обойдется дешевле: если землекопы будут рыть туннель одновременно с двух сторон или если каждый из них выроет половину туннеля?

Ответ Решение

Ответ. Дешевле, если землекопы будут рыть туннель с двух сторн одновременно.

Решение. Дешевле будет в том случае, когда "медленный" землекоп прокопает меньше, ведь работа оплачивается по времени, а значит работа "медленного" обходится дороже.
Если землекопы роют с двух сторон, то "медленный" прокопает 1/3 туннеля, а "быстрый" - 2/3. В этом случае "медленный" прокопает меньше, чем половину туннеля, как прокопал бы он в другом случае. А значит, одновременно копать быстрее.

6.

В одной из вершин куба ABCDEFGH сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они могут "поразить" любые три вершины куба. Если они не попадают в зайца, то до следующего залпа заяц перебегает в одну из трёх соседних (по ребру) вершин куба. Укажите, как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в зайца за четыре залпа. (В решении достаточно написать четыре тройки вершин, в которые стреляют охотники.)

Ответ Указание

Ответ. CFH -> EBD -> EBD -> CFH

Указание. Покрасьте вершины куба, как показано на рисунке. Обратите внимание, что из красной вершины заяц может попасть только в синюю и наоборот.