МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Взвешивания и переливания (12.01 и 14.01)

1.

Переливаем молоко.Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.

Решение

Решение.

1. Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое.
2. Переливаем из пятилитрового ведра 3 литра в трёхлитровое.
3. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом - 2 литра молока.
4. Переливаем 2 литра молока из пятилитрового ведра в трёхлитровое, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового в пятилитровое. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом - 5, а в трёхлитровом - 2 литра молока.
5. Доливаем дополна трёхлитровое ведро из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом. Задача решена.

2.

а) Есть 27 монет. Известно, что одна из них фальшивая (по весу тяжелее настоящих). Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?
б) Можно ли определить фальшивую монету за три взвешивания, если монет 25?

Указание Решение

Указание. Попробуйте сначала за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить из трёх монет одну фальшивую, если известно, что она тяжелее настоящих.

Решение. а) Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую; кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.
б) Поступаем абсолютно аналогично, только в самом начале разбиваем монеты на 2 кучки по 9 монет и одну из 7 монет, а в случае надобности кучку из 7 монет разобьём на 2 кучки по 3 монеты и однy "кучку" из одной монеты.

3.

а) Какие веса могут иметь четыре гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 15 на чашечных весах (гири можно ставить только на одну чашку)?

б) Какие веса могут иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10 на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки)? Приведите пример.

Решение

Решение. а) Достаточно гирек весом в 1, 2, 4 и 8 килограммов. В этом нетрудно убедиться, подобрав соответствующие примеры.

б) Нам понадобятся гирьки весом в 3, 4 и 9 килограммов. То, что этот набор действительно позволяет взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10, показывают следующие равенства: 1=4-3, 2=9-3-4, 3=3, 4=4, 5=9-4, 6=9-3, 7=3+4, 8=3-4+9, 9=9, 10=4+9-3.

4.

Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а после переливания 26 литров из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?

Ответ Указание Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Указание. Заметьте, если бы такое переливание было возможно, то во втором баке должно было быть больше чем 26 л бензина.

Решение. При таком переливании во втором баке должно было быть больше 26 л бензина, а в первом — ещё больше, чем во втором. Следовательно, даже если надо было бы наполнить только эти два бака, всё равно на это не хватило бы 50 л. Значит, разделить бензин так, как требуется в условии, невозможно.

5.

Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

Указание Решение

Указание. Попробуйте поставить на одну чашку весов гирю в 1 кг и уравновесить весы.

Решение. Можно поступить, например, так: поставим на одну чашку весов гирю весом 1 кг и уравновесим весы крупой из мешка. Теперь снимем с весов эту гирю и вместо нее насыпем крупу. Когда этой крупы станет ровно 1 кг, весы окажутся в равновесии.

6.

Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Указание Решение

Указание. Обратите внимание: требуется определить фальшивую монету, при этом вовсе не требуется указывать, легче она, чем настоящие, или тяжелее.

Решение. Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии, значит, та монета, которая осталась, — настоящая. Кладём её на весы с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась, и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы — по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие. Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую — монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии, значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии, значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она или тяжелее).

7.

Имеются чашечные весы со стрелками и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 2 грамма, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 1 грамму. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Решение

Решение. Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго — 2, из третьего — 3,..., из последнего — 10 монет. Всего 1 + 2 + 3 +...+ 10 = 45 монет. Взвесим их. Если бы все они были настоящие, они весили бы 45 граммов, но в нашем случае они будут весить больше. Если фальшивая монета одна, то будет перевес 1 грамм, если две — 2 грамма, ... если десять фальшивых монет — будет перевес 10 грамм. Таким образом, зная перевес, мы сразу определим количество фальшивых монет. А оно, в свою очередь, покажет нам номер мешка, в котором они лежат.

Дополнительные задачи 1

8.

Есть три бидона емкостью 14 л, 9 л и 5 л. В большем бидоне 14 литров молока, остальные бидоны пусты. Как с помощью этих сосудов разлить молоко пополам?

Указание Решение

Указание. Получите сначала 1 литр, а затем 2 литра в 9-литровом бидоне.

Решение. Приведем схему разливания молока (первое число - сколько литров в 14-литровом бидоне, второе - сколько в 9-литровом, третье - сколько в 5-литровом): 14 0 0 - 9 0 5 - 9 5 0 - 4 5 5 - 4 9 1 - 13 0 1 - 13 1 0 - 8 1 5 - 8 6 0 - 3 6 5 - 3 9 2 - 12 0 2 - 12 2 0 - 7 2 5 - 7 7 0 .

9.

Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

Ответ

Ответ. Да. Причем меньшим числом взвешиваний обойтись нельзя.

Дополнительные задачи 2

10.

Известно, что среди ста монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо!).

Решение

Решение. Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее остальных.

11.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

Указание Решение

Указание. Попробуйте за три взвешивания найти суммарный вес трех яблок.

Решение. Занумеруем яблоки. Взвесим первое яблоко со вторым, второе с третьим и третье с первым, затем сложим полученные веса (где-нибудь в тетради) и получим удвоенный вес трех яблок, а затем и вес трех яблок, следовательно, за три взвешивания мы узнали суммарный вес первых трех яблок. Осталось пять взвешиваний и десять яблок, которые взвешиваем попарно и, суммируя все данные, получим вес 13 яблок.