МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9.

1.

Докажите, что если к произвольному трехзначному числу приписать рядом такое же, то полученное новое шестизначное число будет делиться на 7.

2.

Найдется ли такое число, квадрат которого при делении на 5 дает остаток 3?

3.

В параллели три класса и 56 учеников. Доказать, что есть класс, в котором не менее 19 учеников.

4.

Сможет ли Петя разложить 44 монеты по 10 карманам так, чтобы количество монет в каждом кармане было бы различным?

5.

Докажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два числа, разность которых кратна 5.

6.

Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6×6 из чисел +1, 0, -1 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможете ли Вы помочь Буратино?

7.

Сколько различных календарей нужно напечатать, чтобы из них наверняка можно было выбрать календарь на любой год?

8.

Сколько существует четырехзначных чисел все цифры которых различны?

9.

Ковёр называют красивым, если в нём менее 50 дырок. В ковре старухи Шапокляк, имеющем форму квадрата со стороной 1м, моль проела 52 маленькие дырки. У Шапокляк есть заплатка в форме квадрата со стороной 20см. Докажите, что независимо от расположения дырок ей удастся сделать свой ковер красивым.

10.

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач. Среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи, и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

11.

Семь грибников собрали 100 грибов, причем все грибники собрали разное число грибов. Докажите, что есть трое грибников, которые собрали вместе не меньше 50 грибов.

12.

Можно ли увезти из каменоломни пятьдесят камней, веса которых равны 370кг, 372кг, …, 468кг, на семи трехтонках?