МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5. (10.11.07)

1.

Сколько диагоналей в выпуклом 100-угольнике?

2.

Дима, приехав из путешествия, рассказал, что видел несколько озер, соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, а впадают четыре. Докажите, что он ошибается.

3.

Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед началом турнира.
— Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой рыжий, а третий черноволосый. Но ни у кого цвет волос не cоответствует фамилии. Забавно, не правда ли?
— Ты прав, — подтвердил мастер.
Какого цвета волосы у кандидата?

4.

В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл лишь один из трех подсудимых, и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?

5.

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

6.

В комнате находятся 12 человек. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Один из них сказал: «Здесь нет ни одного честного человека», второй: «Здесь не более одного честного человека», третий: «Здесь не более двух честных людей» и т.д., двенадцатый: «Здесь не более одиннадцати честных людей». Сколько в комнате честных людей?

7.

За булочками в столовой выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально?

8.

Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал ему царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». Это же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен набрать крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?

9.

На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

10.

На острове Невезения живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. В Думе острова — 101 депутат. В целях сокращения бюджета было решено сократить Думу на одного депутата. Но каждый из депутатов заявил, что, если его выведут из состава Думы, то среди оставшихся депутатов большинство будут лжецами. Сколько рыцарей и сколько лжецов в Думе?

11.

На острове Невезения живут 100 человек, причем некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трех богов — богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:
1) Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?
2) Поклоняетесь ли Вы богу Луны?
3) Поклоняетесь ли Вы богу Земли?
На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40, и на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

12.

На острове Невезения живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Все они встали в круг и каждый из них сказал про соседа справа, рыцарь тот или лжец. На основании этих сообщений путешественник однозначно определил, какую долю от всех жителей селения составляют рыцари. Определите, чему она равна.