МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 14. (18.01.08)

1.

Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все цифры. Восстановите таблицу.

6

4

2.

В одном городе телевизионные передачи транслируют по трём каналам. Каждый из трёх каналов смотрит по половине населения города, ровно два канала — тоже половина населения, а все три канала смотрят 100 человек. Сколько человек в городе не смотрят телевизор?

3.

На столе лежат без наложений несколько одинаковых монет; верно ли, что всегда есть монета, касающаяся не более трёх других?

4.

В течение рабочего дня каждый депутат посетил заседание парламента. Все депутаты приходили и уходили в разное время, но никто из них, уходя, больше не возвращался. Оказалось, что любые два депутата встретились на заседании. Докажите, что был момент, когда все депутаты присутствовали.

5.

Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны 2, 2, 3, 4, 5, 6?

6.

Есть 100 палочек, выложенных по возрастанию длин. За сколько проверок можно наверняка узнать, из любых ли трех палочек можно составить треугольник?

7.

Имеется три одинаковых на вид старинных монеты. Две из них одного веса, а третья легче. Можно ли ее обнаружить с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь?

8.

А если из девяти монет одна легче, а определить ее требуется за два взвешивания?

9.

В некоторой галактике 179 планет. На каждой из них сидит астроном и наблюдает за ближайшей к нему планетой этой галактики. Все расстояния между планетами различны. Докажите, что хотя бы за одной из планет никто не наблюдает.

10.

На тетрадном листе в каждой клеточке написаны числа, и никакое число не превосходит среднего арифметического своих соседей (клетки считаем соседними, если они имеют общую сторону). Докажите, что все числа равны.

11.

На плоскости проведено несколько прямых общего положения (никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку). Они разбивают плоскость на несколько областей.

а)

Обязательно ли среди этих областей есть треугольник?

б)

Верно ли, что к каждой из проведённых прямых прилегает треугольник?

12.

У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?