МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 4. (3.11.07)

1.

На окружности отмечено 20 точек. Маша и Миша по очереди соединяют любые две из них отрезком так, чтобы он не пересекался с проведенными ранее. Кто не может сделать ход — проигрывает. Кто может гарантированно обеспечить себе победу?

2.

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход можно стереть любые две цифры и, если они были одинаковыми, написать 2, а если разными — 1. Если последняя оставшаяся на доске цифра — 1, то выиграл первый игрок, если 2 — то второй. Кто будет всегда выигрывать

3.

Между 9 планетами Солнечной систему планируется ввести космическое сообщение с помощью ракет по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и Марс-Уран. Можно ли будет добраться с Земли до Марса?

4.

В 20-этажном доме испорчен лифт: он может либо подниматься на 8 этажей вверх, либо спускаться на 13 этажей вниз. Можно ли с помощью лифта попасть с 20 этажа на первый?

5.

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый был соединен ровно с пятью другими?

6.

В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга, 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей в этом классе?

7.

До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим явиться ко двору и молвили они: Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».
Алеша Попович: «Змея убил я».
При этом известно, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил Змея?

8.

Каждый из четырех гномов — Беня, Веня, Женя и Сеня либо всегда говорит правду, либо врет. Мы услышали разговор: Беня — Вене: «Ты врун». Женя — Бене: «Сам ты врун!» Сеня — Жене: «Оба они вруны. Да и ты тоже». Кто из них говорит правду?

9.

В городе от каждой площади отходит ровно 5 улиц, соединяющих площади. Докажите, что число площадей четно, а количество улиц делится на 5.

10.

В шахматном турнире участвуют 9 человек. Докажите, что в любой момент найдется шахматист, сыгравший к этому моменту четное число партий.

11.

В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с 4 девочками, а каждая девочка — с 5 мальчиками. Сколько в классе мальчиков и девочек?

12.

У царя Гвидона было 5 детей. Из всех его потомков (детей, внуков, правнуков и т.д.) 58 имели ровно трех сыновей, а остальные умерли бездетными. Сколько потомков у царя Гвидона?