МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 6. Логика

Основные задачи

0.

Президент высказал некоторое утверждение, при этом он сказал правду. Премьер-министр дословно повторил это же утверждение, при этом он соврал. Могло ли такое быть?

Решение

Решение. Да, могло. Например, президент мог сказать: «Я — президент!», и это утверждение было бы верным. Но если бы его дословно повторил премьер-министр, оно стало бы ложным.

1.

Три подружки съели по мороженому. Мила сказала: «Я съела рожок!» Ксюша сказала: «Нет, это Ира съела рожок!» А Ира довольно облизнулась. Кто съел рожок, если рожок был только один и все сказали неправду?

Ответ Решение

Ответ. Рожок съела Ксюша.

Решение. Поскольку Мила сказала неправду, она не ела рожок. Ксюша тоже сказала неправду, поэтому и Ира его не ела. Значит, рожок могла съесть только Ксюша.

2.

У императора украли перец. Известно, что те, кто крадут перцы, всегда лгут. Пресс-секретарь сказал, что он знает, кто украл. Виновен ли пресс-секретарь?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Тот, кто украл перцы, знает, кто это сделал. Но поскольку он всегда врет, то никогда в этом не сознается, то есть не скажет: «Я знаю, кто украл перцы.» А раз секретарь так сказал, значит, сам он не крал перца.

3.

Три подруги вышли на бал в белом, красном и черном платьях и туфлях. Известно, что только у Али цвета платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Маши не были черными, а Жанна была в красной обуви. Определите цвет платья и туфель каждой из девушек.

Ответ Решение

Ответ. У Маши было красное платье, а у Жанны белое.

Решение. Начертим таблицу:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля
Маша
Жанна

Поскольку ни платье, ни туфли Маши не были черными, поставим в соответствующих клетках минусы:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля
Маша					−	−
Жанна

Известно, что Жанна была в красной обуви. Значит, ее туфли не были ни черными, ни белыми, и больше ни у кого красных туфель не было:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля		−
Маша		−			−	−
Жанна		+		−		−

Теперь ясно, что черные туфли могли быть только у Али, а значит, и платье ее было черным:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля	−	−	−	−	+	+
Маша		−			−	−
Жанна		+		−	−	−

Таким образом, белые туфли могли быть только у Маши. Значит, ее платье не могло быть белым. Не могло оно быть и черным: как мы знаем, в черном платье пришла Аля. Поэтому платье Маши было красным:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля	−	−	−	−	+	+
Маша	+	−	−	+	−	−
Жанна		+		−	−	−

Теперь ясно, что Жанна была в белом платье:

	Красное платье	Красные туфли	Белое платье	Белые туфли	Черное платье	Черные туфли
Аля	−	−	−	−	+	+
Маша	+	−	−	+	−	−
Жанна	−	+	+	−	−	−

4.

В саду у Иры цветут 18 цветов. Известны следующие два факта:

• цветет по крайней мере одна роза;
• среди любых двух цветов есть по крайней мере одна незабудка.

Цветут ли в саду тюльпаны? Сколько в саду незабудок?

Ответ Решение

Ответ. Тюльпаны в саду не цветут, а незабудок 17.

Решение. Если в саду есть хотя бы два цветка, не являющихся незабудками, то среди этих двух цветков незабудок нет, что противоречит условию задачи. Поэтому незабудок не меньше 17. Но в саду точно есть одна роза. Поэтому незабудок ровно 17, а оставшийся цветок — роза. Стало быть, тюльпанов в саду нет.

5.

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

Ответ Решение

Ответ. Алла, Вика, Боря, Соня, Денис.

Решение. Поскольку Денис не стоит рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей, он должен стоять либо в самом начале очереди, либо в самом конце, а между ним и указанными троими должна стоять Соня. Так как Вика стоит впереди Сони, то Соня и Денис стоят позади Аллы, Вики и Бори:
..., ..., ..., Соня, Денис.
(Здесь начало очереди слева, а конец справа.)
Теперь расставим оставшихся троих на свободные места. Боря и Алла не стоят рядом, значит, между ними стоит Вика:
..., Вика, ..., Соня, Денис.
Учитывая еще, что Вика стоит после Аллы, получим следующую расстановку:
Алла, Вика, Боря, Соня, Денис.

6.

Винни-Пух решил притвориться тучкой. Паря в небе на воздушном шарике, пчёл он убеждал так: «Все тучки летают. Я летаю, следовательно, я — тучка». Поверят ли ему пчёлы?

Решение

Решение. Все тучки летают. Но из этого не следует, что летают только тучки: летать умеют делать также птицы, бабочки, самолеты, медведи на воздушном шарике и еще много кто. Таким образом, второе утверждение Винни-Пуха обратно к его первому утверждению, а значит, не следует из него. Поэтому пчелы не поверят Винни-Пуху.

7.

В синем, красном и желтом горшках на подоконнике в ряд растут красная герань, синяя незабудка и желтая лилия. Известно, что ни один цветок не растет в горшке своего цвета. Лилия растет правее всех, а в центре нет ничего красного. Определите, в каком порядке растут цветы и какого цвета у них горшки.

Ответ Решение

Ответ. Слева направо: красная герань в синем горшке, синяя незабудка в желтом горшке, желтая лилия в красном горшке.

Решение.

Сначала определим, в каком порядке растут цветы. Уже известно, что желтая лилия растет в правом горшке. Так как в центре нет ничего красного, красная герань может расти только в левом горшке. Значит, в центре растет синяя незабудка.

Теперь выясним, как раскрашены горшки. Красный горшок не может находиться в центре, где нет ничего красного. Не может он оказаться и слева, где растет красная герань. Значит, красный горшок справа, и в нем растет желтая лилия. Синий горшок не может находиться в центре, где растет синяя незабудка, и справа, где уже стоит красный горшок. Поэтому синий горшок слева (в нем растет красная герань). Ну а оставшийся желтый горшок стоит в центре, и в нем растет синяя незабудка.

8.

В тетради записано 100 утверждений:

• «В этой тетради ровно одно неверное утверждение»,
• «В этой тетради ровно два неверных утверждения»,
• ...
• «В этой тетради ровно сто неверных утверждений».

Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

Ответ Решение

Ответ. Верно только предпоследнее из написанных утверждений: «В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений».

Решение. Сначала заметим, что среди написанных утверждений не более одного верного, поскольку любые два из них противоречат друг другу. Кроме того, не могут быть неверными и все сто утверждений: ведь в этом случае последнее из них на самом деле было бы верным, и получилось бы противоречие. Таким образом, в тетради ровно одно верное утверждение, а остальные девяносто девять, стало быть, неверны. Поэтому верно предпоследнее из написанных утверждений: «В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений».

9.

Оля, Толя и Коля участвовали в физической олимпиаде, причём ровно один из них победил. Учительница решила выяснить, кто именно. Каждый из ребят указал на другого, при этом правду сказала только Оля. При этом если бы каждый указывал не на того, на кого он указывал, а на другого, то правду сказал бы только Коля. Кто победил в физической олимпиаде?

Ответ Решение

Ответ. Победил Толя.

Решение. Сначала Оля сказала правду, указывая на другого, значит, сама она победить в олимпиаде не могла. Если бы каждый указывал не на того, на кого он указывал, а на другого, то правду сказал бы Коля. Значит, и Коля не мог победить в олимпиаде. Таким образом, победителем был Толя.

10.

На следующей неделе Оля, Толя и Коля участвовали в математической олимпиаде, причем ровно один из них победил. На вопрос учительницы, кто же победил, дети ответили так. Толя: «В математической олимпиаде победил Коля». Коля: «Я знаю немецкий». Оля: «Я не знаю немецкого». Известно, что правду сказал только победитель олимпиады. Кто победил в олимпиаде?

Ответ Решение

Ответ. Победила Оля.

Решение. Сначала заметим, что Толя не мог оказаться победителем. Действительно, если бы он был победителем (и сказал правду), то он указал бы на себя, а не на Колю. Значит, Толя не был победителем, а потому сказал неправду. Но он указал на Колю, а значит, на самом деле победителем не был и Коля. Поэтому победителем могла быть только Оля. А она ничего не сказала о том, кто победитель (как и Коля). Значит, победила действительно Оля, поскольку это не противоречит ее собственным словам и не соответствует ни одному из ложных утверждений других ребят.

Дополнительные задачи

11.

Девочка заменила в своём имени каждую букву её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

Ответ Решение

Ответ. Таня.

Решение.

В русском алфавите (да и в любом другом) нет буквы с номером 0. Поэтому первая буква в имени имеет номер 20 (а не номер 2). Несложно проверить, что двадцатая буква русского алфавита — буква Т. Следующая буква имеет либо номер 1 (если это буква А), либо 11 (если это буква К). Рассмотрим эти случаи отдельно.

Пусть первые две буквы имени — это буквы Т и А. Тогда третья буква имеет либо номер 1 (буква А), либо номер 15 (буква Н). В первом из этих случаев четвертая буква имеет номер 5, а не 53 (поскольку в русском алфавите всего 33 буквы), то есть это буква Д. Для окончания имени есть два варианта: ВВ или Я. Ни в одном из этих случаев русского имени не получается. Если же третья буква Н, то для окончания имени те же два варианта: ВВ или Я. Первый из них опять не дает русского имени, а второй дает имя «Таня».

Однако нужно еще разссмотреть случай, когда вторая буква имени — буква К. Разберите этот случай самостоятельно по аналогии с предыдущим и убедитесь, что никакого русского имени в этом случае получить не удается. Значит, единственно возможное имя девочки — Таня.

12.

Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения. Афродита: «Я самая прекрасная. Гера не самая прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная. Я самая прекрасная». Гера: «Я самая прекрасная». Афина: «Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто из богинь прекраснее?

Ответ Решение

Ответ. Мог. Парис должен был вынести решение, что прекраснейшая из богинь — Афродита.

Решение.

Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: прекраснейшая из богинь — Гера. Тогда только она говорит правду. Значит, Афина лжет. Но Афина, в частности, утверждает, что Афродита не самая прекрасная. Стало быть. на самом деле самой прекрасной должна быть Афродита, а не Гера. Итак, этот случай привел нас к противоречию.

Случай 2: прекраснейшая из богинь — Афина, и только она говорит правду. Но тогда Афродита лжет, а она утверждает, что Гера не самая прекрасная. То есть на самом деле прекраснейшей должна быть Гера, а на Афина. Этот случай тоже привел нас к противоречию.

Остается случай 3: прекраснейшая из богинь — Афродита, и только она говорит правду. Но надо еще проверить, что этот случай не предет нас к противоречию. Афродита утверждает, что она самая прекрасная, а Гера не самая прекрасная, и это верно. Афина утверждает, что самая прекрасная она, а не Афродита. Но это ложь, то есть на самом деле самая прекрасная все-таки Афродита, а не Афина. Гера, называющая самой прекрасной себя, также лжет. Поэтому в этом случае не возникает никаких противоречий, и он является единственно возможным.