МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Евгений Александрович Асташов и Ирина Сергеевна Засыпкина
2011/2012 учебный год

Занятие 4. Чётность

Определение . Чётными мы называем те числа, которые делятся нацело на 2. Все остальные числа мы называем нечётными.

Основные задачи

0.
Как-то математик заказал двойной обед. Он не знал, сколько стоит обед. Но едва взглянув на чек, он сказал кассиру: «Вы ошиблись!» Как он это определил?
Решение. Пусть обычный обед стоит n рублей. А математик заказал двойной обед. Значит, он должен заплатить за него вдвое больше, то есть 2×n рублей. Число 2×n — четное, поскольку оно делится на 2. Должно быть, математик увидел на чеке нечетную сумму и понял, что кассир ошибся.
1.
а)
Аня и Боря играют в такую игру. Сначала Аня пишет на доске натуральное число, а потом на этой же доске пишет число Боря. Если сумма окажется нечётной, то выиграет Аня, а если чётной — то Боря. Может ли кто-то из них всегда выигрывать, независимо от действий своего соперника?
б)
Гриша и Дима играют в другую игру. Каждый из них в тайне от другого пишет число на листе бумаги. Потом они показывают друг другу написанные числа. Если их произведение нечётное, то выиграет Гриша, а если чётное — то Дима. Может ли кто-то из них всегда выигрывать, независимо от действий своего соперника?
Решение.

а) Выигрывать может Боря. В самом деле, если Аня напишет нечетное число, Боря может также написать четное число, и сумма написанных чисел будет четной. Если же Аня напишет четное число, Боря может написать четное число, и вновь сумма написанных чисел будет четной.

б) Выигрывать может Дима. Независимо от придуманного Гришей числа, он всегда может написать четное число. Тогда произведение числа, написанного Гришей, и четного числа, написанного Димой, будет обязательно четным.

2.
Заполните табличку:
Ч + Ч = Ч × Ч = Н × ... × Н × Ч × Н × ... × Н =
Ч + Н = Ч × Н = Н × ... × Н × ... × Н =
Н + Н = Н × Н = Н + ... + Н + ... + Н =
От чего зависит последняя сумма?
Ответ.
Ч + Ч = Ч Ч × Ч = Ч Н × ... × Н × Ч × Н × ... × Н = Ч
Ч + Н = Н Ч × Н = Ч Н × ... × Н × ... × Н = Н
Н + Н = Ч Н × Н = Н Н + ... + Н + ... + Н = Ч/Н
Последняя сумма в этой таблице четна, если количество слагаемых четно, и нечетна в противном случае.
Решение.

Сначала заполним первые два столбца таблицы. Это не представляет особых трудностей. Для чисел от 0 до 9 соответствующие правила легко проверяются. Дальше можно воспользоваться признаком делимости на 2: число делится на 2 тогда и только когда, когда его последняя цифра делится на 2. Последняя цифра суммы двух чисел равна последней цифре суммы их последних цифр. То же самое относится и к произведению (вспомните правила сложения и умножения чисел в столбик!). Поэтому достаточно проверить правила сложения и умножения для чисел, не превосходящих 9.

Из правил, перечисленных во втором столбце таблицы, следует, что:

  • Если в произведении двух или более чисел хотя бы один из множителей четный, то все произведение четно.
  • В противном случае (когда в произведении все множители нечетны) произведение нечетно.

  • Это позволяет заполнить две верхние ячейки в последнем столбце таблицы.

    Наконец, заполним последнюю ячейку таблицы. Стоящая там сумма зависит от четности количества слагаемых. Если это количество четно, все слагаемые можно разбить на пары: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н). Согласно правилу из первого столбца таблицы, Н + Н = Ч. Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч. А сумма любого количества четных слагаемых четна (это тоже следует из правила, записанного в первом столбце таблицы). Поэтому (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) = Ч + Ч + ... + Ч = Ч.

    Если же количество слагаемых в сумме нечетно, то при попытке разбить их на пары одно окажется «лишним»: (Н + Н) + (Н + Н) + ... + (Н + Н) + Н. Из предыдущих рассуждений следует, что эта сумма равна Ч + Ч + ... + Ч + Н = Ч + Н = Н (здесь мы снова воспользовались правилами из первого столбца таблицы).

    3.
    Произведение двух чисел умножили на их сумму. Могло ли в результате получиться число 3171?
    Ответ. Не могло.
    Решение.

    Обозначим наши числа a и b. Тогда интересующая нас величина равна a·b·(a+b).

    Рассмотрим два случая:

    1. Пусть a и b имеют одинаковую четность. Тогда их сумма четна. А значит, и наша величина получится четной, так как четно (a+b) (см. задачу 2).
    2. Пусть a и b разной четности. Тогда их произведение четно (так как либо а, либо b четно). А значит, наша величина получится четной, так как четно а·b (см. задачу 2).
    Тем самым в обоих случаях интересующая нас величина четна, тогда как число 3171 нечетно.
    4.
    Степашка сосчитал сумму 13 чисел и получил 2010, а Филя перемножил эти числа и получил 20112758945. Докажите, что кто-то из них ошибся.
    Решение. Допустим, что ни Степашка, ни Филя не ошиблись. У Фили произведение чисел получилось нечетным, значит, все 13 множителей должны быть нечетными (см. задачу 2). Таким образом, Степашка складывал 13 нечетных чисел, и сумма должна была получиться нечетной. Но 2010 — четное число. Полученное противоречие показывает, что кто-то допустил ошибку.
    5.
    Восемь кустов малины растут в ряд. Известно, что число ягод, растущих на любых двух соседних кустах, отличается на 1. Может ли общее количество ягод равняться 2011?
    Ответ. Не может.
    Решение. Если число ягод на двух соседних кустах отличается на 1, то количество ягод на соседних кустах имеет разную четность. Поэтому возможны два случая:
    • Ч Н Ч Н Ч Н Ч Н
    • Н Ч Н Ч Н Ч Н Ч
    В обоих случаях общее количество ягод на всех кустах равно Ч + Ч + Ч + Ч + Н + Н + Н + Н = Ч + Ч = Ч, то есть четно, тогда как число 2011 нечетно.
    6.
    Парламент состоит из двух равных по численности палат. В голосовании участвовали все депутаты, воздержавшихся не было. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов (то есть за одно из решений проголосовало на 25 человек больше, чем за другое). Лидер оппозиции заявил, что это обман. Как он это определил?
    Решение. Пусть за первое решение было отдано n голосов, тогда за второе решение было отдано (n+25) голосов. Значит, всего было отдано n+n+25=2·n+25 голосов. Но число 2·n четно, а число 25 нечетно, поэтому их сумма нечетна. В то же время, так как в парламенте две равные по численности палаты, общее количество голосов должно быть четным (оно равно удвоенному количеству членов одной палаты). На это противоречие и обратил внимание лидер оппозиции.
    7.
    Можно ли заплатить без сдачи:
    а)
    20 копеек семью монетами по 1, 5 и 10 копеек?
    б)
    20 копеек семью монетами по 1 и 5 копеек?
    в)
    25 копеек восемью монетами по 1 и 5 копеек?
    Решение.

    а) Да. Например, 10 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.

    б) Нет. Сумма нечетного числа (7 монет) нечетных слагаемых (1 или 5 коп) нечетна, а число 20 четно.

    в) Нет. Сумма четного числа (8 монет) нечетных слагаемых (1 или 5 коп) четна, а число 25 нечетно.

    8.
    В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
    Ответ. Нельзя.
    Решение. Среди выписанных чисел пять четных и пять нечетных, поэтому их сумма нечетна. Так что если перед всеми числами поставить знак «+», нуля не получится (ведь ноль — четное число). Если теперь знак «+» перед каким-нибудь числом заменить на знак «–», четность написанного выражения не изменится. Например, 1 + 2 + ... + 9 - 10 = 1 + 2 + ... + 9 + 10 - 2·10. Поэтому при такой замене из суммы фактически вычитается удвоенное число, перед которым поменяли знак, то есть четное число. Четность суммы при этом не изменяется. Таким образом, при любой расстановке знаков «+» и «–» значение выражения будет нечетным, а значит, не равным нулю.

    Дополнительные задачи

    9.
    Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз — на 2 см, в третий — на 3 см, и так далее. Докажите, что он не сможет за 2010 прыжков вернуться в начальную точку.
    Решение.

    Решим эту задачу по аналогии с предыдущей. Будем считать, что у нас в ряд написаны числа от 1 до 2010. Надо расставить между ними знаки «+» (если кузнечик прыгнул вправо на соответствующее число сантиметров) и «–» (если кузнечик прыгнул влево) так, чтобы значение полученного выражения оказалось равным нулю (это и будет означать, что кузнечик в конце концов вернулся в начальную точку).

    Среди чисел от 1 до 2010 есть 1005 четных и 1005 нечетных. Как и в предыдущей задаче, независимо от расстановки между ними знаков получим выражение, значение которого нечетно, а значит, не равно нулю.

    10.
    На столе лежат шесть монет: три орлом вверх, три решкой вверх. За один ход разрешается переворачивать любые две монеты. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все монеты лежали решкой вверх?
    Ответ. Нельзя.
    Решение. Посмотрим, как меняется количество Решек при наших ходах:
    • Если переворачиваются 2 орла, то число Решек увеличивается на 2.
    • Если переворачиваются 2 решки, число Решек уменьшается на 2.
    • Если переворачивается одна Решка и один Орел, то число Решек не изменяется.
    Тем самым при любом ходе четность количества Решек не изменяется. Первоначально оно было равно 3, поэтому после любого количества ходов оно останется нечетным (а значит, не может оказаться равным 6).
    11.
    На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два ее числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат четен.
    Решение.

    Достаточно доказать, что найдется хотя бы одна карточка, для которой сумма чисел на ней четна (ведь произведение 99 чисел четно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей четен).

    Допустим, что не существует такой карточки, для которой сумма написанных чисел четна. Это означает, что на каждой карточке написаны числа разной четности. Значит, каждому нечетному числу от 1 до 99 можно подобрать в пару четное число от 1 до 99, а каждому четному числу можно подобрать в пару нечетное число («парное» число написано на обороте соответствующей карточки). Но тогда количество четных и нечетных чисел от 1 до 99 должно быть одинаковым. А на самом деле из этих чисел 50 нечетных и 49 четных. Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно, и хоть на одной карточке будут написаны числа одинаковой четности. Тогда их сумма будет четной, что и доказывает утверждение задачи.

    12.
    На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
    Ответ. Банан.
    Решение. Проследим, как может меняться четность числа фруктов при возможных действиях садовника.
    1. Садовник снимает с дерева 2 апельсина. Тогда четность числа апельсинов сохраняется, а четность числа бананов меняется (поскольку добавляется 1 банан)
    2. Садовник снимает 2 банана. Тогда четность числа апельсинов сохраняется, а четность числа бананов меняется (-2 банана + 1 банан, который вырос)
    3. Садовник снимает 2 разных фрукта. Число апельсинов остается неизменным (-1 апельсин + 1 апельсин, который вырос), а четность числа бананов изменяется.
    Итак, независимо от действий садовника четность числа апельсинов остается неизменной, а четность числа бананов меняется. Первоначально число апельсинов было четным, значит, таким оно и останется. В конце концов, на дереве остается нечетное количество фруктов. Поэтому единственным оставшимся фруктом может быть только банан.

    Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
    liveinternet.ru
    Apache
    PHP
    HTML 4.01
    CSS