МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководители Евгений Александрович Асташов и Ирина Сергеевна Засыпкина
2011/2012 учебный год

Занятие 14. Письменная работа

Часть А

В части А требуется указать только верный ответ. Решение писать не нужно.
1.
Выписали все натуральные числа от 75 до 125 включительно. Сколько чисел выписали? А сколько цифр?
Ответ. 51 число, 128 цифр.
Решение. Выписали 125 − 75 + 1 = 51 число. Из них 99 − 75 + 1 = 25 чисел двузначные и 125 − 100 + 1 = 26 чисел трёхзначные. Значит, всего выписали 2·25 + 3·26 = 128 цифр.
2.
Петя нарисовал на клетчатом листе бумаги фигуру (см. рисунок). Разрежьте эту фигуру на две равные части по линиям сетки.
К задаче 2
3.
В школе учатся 80 пятиклассников. Из них 44 умеют играть на фортепиано, 43 — на гитаре, а 24 не умеют играть ни на одном из этих инструментов. Сколько пятиклассников умеют играть и на гитаре, и на фортепиано?
Решение. 80 − 44 − 24 = 12 человек умеют играть только на гитаре. Значит, 43 − 12 = 31 человек может играть не только на гитаре, то есть ещё и на фортепиано.
4.
Кирпич весит 6 фунтов и ещё треть кирпича. Сколько весит кирпич?
Ответ. 9 фунтов.
Решение. Две трети кирпича весят 6 фунтов, значит, одна треть кирпича весит 3 фунта, а сам кирпич весит 3 · 3 = 9 фунтов.
5.
Нарисуйте 8 точек и соедините их линиями так, чтобы никакие две линии не пересекались, из каждой точки выходило по 4 линии и каждые две точки соединялись не более чем одной линией.
6.
В комнате стоят 40 компьютеров, и все они соединены проводами. От трёх компьютеров отходит по 20 проводов, от семи — по 30, от оставшихся тридцати — по 25 проводов. Сколько проводов протянуто в комнате?
Ответ. 510 проводов.
Решение. Посчитаем количество концов проводов, выходящих из каждого компьютера. Их 3·20 + 7·30 + 30·25 = 1020. При этом каждый провод мы посчитали по два раза, поскольку у него два конца. Таким образом, самих проводов в два раза меньше, чем концов, то есть 1020 : 2 = 510 штук.
7.
В ящике лежат синие, красные, белые и сиреневые шарики, по 15 штук каждого цвета. Какое минимальное количество шариков нужно вытащить не глядя, чтобы среди них точно нашлось 5 шариков одного цвета?
Ответ. 17 шариков.
Решение. Если вытащить 17 шариков, то среди них обязательно найдутся 5 одного цвета: если это не так, то шариков каждого цвета не больше 4 штук, а всего их тогда не больше 4·4 = 16, что противоречит условию. С другой стороны, 16 вытащенных шариков может и не хватить, так как может оказаться, что мы вытащили по 4 шарика каждого цвета.
8.
Мыши нашли прямоугольный кусок сыра и начали его есть. За 35 секунд кусок уменьшился по длине, ширине и высоте в 2 раза. Сколько ещё времени мыши будут есть сыр?
Ответ. 5 секунд.
Решение. Объём куска сыра, оставшегося через 35 секунд, в 2·2·2 = 8 раз меньше начального. Значит, мыши съели в 7 раз больше сыра, чем осталось. Следовательно, оставшийся кусок они будут есть ещё 35 : 7 = 5 секунд.
9.
В диспетчерской есть 10 лампочек. Под одной из них написано: «Горит ровно одна лампочка», ещё под двумя — «Горят ровно две лампочки», ещё под тремя — «Горят ровно три лампочки», а под остальными — «Горят ровно четыре лампочки». Сейчас под включёнными лампочками написаны верные утверждения, а под выключенными — неверные. Сколько включённых лампочек может быть в диспетчерской при этих условиях? Укажите все возможные варианты.
Ответ. 0, 1, 2, 3 или 4 лампочки.
Решение.

Сначала отметим, что все лампочки могут быть выключены. Эта ситуация удовлетворяет условию задачи: под всеми включёнными лампочками (то есть ни под одной) написаны верные утверждения, а под всеми выключенными, то есть под всеми десятью — неверные.

Теперь предположим, что есть хотя бы одна включённая лампочка. Посмотрим, что под ней написано. Если написано «Горит ровно одна лампочка», то все остальные должны быть выключены. Если написано «Горят ровно две лампочки», то вторая лампочка с таким же утверждением должна быть тоже включена, потому что под ней написано то же самое. В этом случае мы имеем две включённых лампочки, но все остальные, согласно написанному утверждению, должны быть выключены. Если же под включённой лампочкой написано «Горят ровно три лампочки», то ещё две лампочки с таким же утверждением должны быть включены, а остальные выключены. Аналогично с утверждением «Горят ровно четыре лампочки».

10.
Вдоль аллеи высадили несколько лип. Потом между каждыми двумя липами посадили ещё по две липы. Потом между каждыми двумя липами посадили ещё по одной липе, и всего лип стало 1357. Сколько лип посадили первоначально?
Ответ. 227 лип.
Решение. Добавим ещё одну липу. Получается, что на втором шаге после каждой липы (в том числе и после последней) посадили по одной липе, и их стало 1358. Значит, до этого (после первого шага) их было 1358 : 2 = 679. Теперь добавим к ним ещё две липы (в самый конец). Получается, что в самом начале после каждой липы (в том числе и после последней) посадили по две липы, и их стало 681. Значит, в самом начале их было 681 : 3 = 227.

Часть Б

В части Б требуется написать решение. Только приведённого верного ответа недостаточно.
11.
Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете «Жёлтый листок» Незнайка сказал: «Знайка назвал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030». Докажите, что Незнайка соврал.
Решение. Число 30030 делится на 2, но не делится на 4. Поэтому среди трёх чисел, произведение которых равно 30030, одно чётное и два нечётных. Но сумма двух нечётных чисел и одного нечётного всегда является чётной, тогда как число 201 нечётно. Полученное противоречие доказывает, что Незнайка соврал.
12.
На Зимнюю школу Малого мехмата приехали 25 пятиклассников. Могло ли получиться так, что каждый из них перед поездкой был знаком ровно с 7 другими пятиклассниками — участниками Зимней школы?
Ответ. Не могло.
Решение. Подсчитаем количество знакомств между пятиклассниками: удвоенное количество таких отношений должно быть равно 7·25 = 175 (каждое знакомство мы считаем два раза). Но число 175 нечётно, поэтому число знакомств 175 : 2 получается нецелым, чего быть не может.
13.
Пассажир опаздывал на поезд, и ему нужно было пробежать весь путь со скоростью 10 км/ч. Но у него были тяжёлые сумки, и всю первую половину пути он плёлся со скоростью 5 км/ч. А потом его встретил друг на машине и предложил подвезти. Есть ли у них шанс успеть на поезд, и если да, то с какой скоростью им нужно для этого ехать?
Ответ. Шансов успеть на поезд нет.
Решение. Пробежать весь путь со скоростью 10 км/ч можно за столько же времени, как и пройти половину пути со скоростью 5 км/ч. А значит, в тот момент, когда пассажир садился в машину, поезд уже уехал.
14.
2011 мартышек сидят по кругу. Одни мартышки грустные, другие весёлые. Каждая из них по очереди произнесла фразу: «Обе мои соседки — грустные». Если про мартышку солгали, она сразу обижается и грустнеет. Если про мартышку сказали правду, она сразу радуется и веселеет. Когда весёлых мартышек больше: в начале или в конце?
Ответ. Число весёлых мартышек в начале и в конце одинаково.
Решение. Заметим, что после фразы каждой мартышки у обеих её соседок меняется настроение. Значит, у каждой мартышки настроение меняется два раза. Поэтому в конце настроение у каждой будет такое же, как и в начале.
15.
В распоряжении параллели 5 класса Малого мехмата 14 аудиторий. Известно, что как ни перераспределяй пятиклассников, пришедших на занятие №14, всё равно в какой-то аудитории будет сидеть как минимум 36 пятиклассников. Какое наименьшее число пятиклассников могло прийти на занятие №14 при этих условиях?
Ответ. 491 человек.
Решение. Если на занятие пришло 14·35 = 490 пятиклассников или меньше, то их можно рассадить так, чтобы в каждой аудитории было не более 35 человек. А вот если их пришло 491 или больше, то в какой-то аудитории обязательно будет не меньше 36 человек: 491-го человека придётся сажать в аудиторию, где уже сидят 35 человек, и он там станет 36-м.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS