МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 15. Поехали!

Часть I

1.

Пятнадцати солдатам было приказано рыть канаву от забора до обеда. Когда солдаты начали копать, повара начали готовить обед. Стараниями солдат канава за час становится длиннее на 2 метра; обед готовится со скоростью 3 порции в час. Какой длины получится канава, когда начнется обед?

Ответ Решение

Ответ. 10 метров.

Решение. Для 15 солдат необходимо приготовить 15 порций обеда. За час готовятся три порции, следовательно, на 15 порций потребуется 15 : 3 = 5 часов. А за 5 часов солдаты выроют 5 · 2 = 10 м канавы.

2.

Расстояние от села до города 50 км. Из села в город выехал велосипедист со скоростью 20 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал мотоциклист со скоростью 40 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к городу?

Решение

Решение. Очевидно, что в момент встречи они будут в одной точке, поэтому окажутся на одном и том же расстоянии от города.

3.

Расстояние от Москвы до Владивостока по железной дороге 9288 км. Навстречу друг другу выезжают два поезда: пассажирский из Москвы со скоростью 64 км/ч и товарный из Владивостока со скоростью 39 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут за час до встречи? А за сутки?

Ответ Решение

Ответ. 103 км; 2472 км.

Решение. Расстояние между поездами за час до встречи равно сумме расстояний, пройденных за час каждым из поездов, то есть 39 + 64 = 103 км. А за сутки до встречи расстояние между поездами будет в 24 раза больше, то есть 103 · 24 = 2472 км.

4.

Ленивому ученику, чтобы успеть на занятие Малого мехмата, нужно было всю дорогу бежать со скоростью 8 км/ч. Но он полдороги считал ворон и шёл со скоростью 4 км/ч. Есть ли у него ещё шанс успеть на занятие, и если да, то с какой скоростью ему нужно для этого бежать?

Ответ Решение

Ответ. Шансов нет.

Решение. Пробежать весь путь со скоростью 8 км/ч можно за столько же времени, как и пройти половину пути со скоростью 4 км/ч. А значит, в тот момент, когда школьник прошёл полдороги, занятие как раз началось, и он на него опоздал.

5.

Винни-Пух, пройдя половину пути до дома Пятачка, вспомнил, что забыл подарок на День рождения дома. Он развернулся и с той же скоростью пошёл обратно. Теперь он придёт в гости к Пятачку на 10 минут позже, чем планировал. Сколько времени занимает дорога от дома Винни-Пуха до дома Пятачка?

Ответ Решение

Ответ. 10 минут.

Решение. Винни-Пух прошёл: 1) половину пути до дома Пятачка (когда шёл без подарка); 2) ещё половину этого пути (когда вспомнил про подарок и возвращался); 3) весь путь до дома Пятачка (когда шёл с подарком). Таким образом, он прошёл вдвое большее расстояние, чем путь от его дома до дома Пятачка. Так как он все время шёл с одинаковой скоростью, то он в общей сложности потратил в два раза больше времени, чем на путь от своего дома до дома Пятачка. Это удвоенное время оказалось на 10 минут больше запланированного. Следовательно, дорога от дома Винни-Пуха до дома Пятачка как раз и занимает эти 10 минут.

6.

Мышке до норки по прямой 20 шажков. Кошке до мышки по той же прямой 5 прыжков. Мышка находится между кошкой и норкой. Пока кошка совершает 1 прыжок, мышка делает 3 шажка, но один кошачий прыжок такой же длины, как 10 мышиных шажков. Догонит ли кошка мышку?

Ответ Решение

Ответ. Кошка не догонит мышку.

Решение. Один кошкин прыжок по длине равен 10 мышкиным шажкам. Значит, кошке до норки 10·5 + 20 = 70 шажков. После того как кошка сделает 6 прыжков, ей останется до норки 10 шажков, а мышке 20 − 6·3 = 2 шажка (так как она делает по 3 шажка за время каждого прыжка кошки). Теперь кошке до норки остался один прыжок, и пока она будет его делать, мышка успеет сделать 2 шажка и окажется в норке.

Часть II

7.

Костя может съесть весь ужин за 10 минут, а Денис — за 40. За какое время они съедят 5 порций ужина вместе? А одну порцию ужина?

Ответ Решение

Ответ. 8 минут; 40 минут.

Решение. Понятно, что за 40 минут Костя съест 4 порции ужина, а Денис — одну. Значит, Денис и Костя вместе съедят 5 порций за 40 минут. А одну порцию они совместными усилиями съедят в 5 раз быстрее, то есть за 40 : 5 = 8 минут.

8.

Удав прополз мимо Мартышки за полминуты, а мимо бревна длиной 9 метров (считая с момента, когда голова Удава поравнялась с началом бревна, до момента, когда хвост Удава миновал конец бревна) — за минуту. Найдите длину и скорость удава.

Ответ Решение

Ответ. Длина удава 9 м, а скорость 30 см/с.

Решение.

Проползая мимо мартышки, удав проползает свою длину за 30 секунд. Когда удав ползёт мимо бревна, это длится 60 секунд, что вдвое больше, чем 30. Значит, удав проползает за это время две своих длины, что равно сумме его длины и длины дерева, то есть его длины и 9 м. Отсюда две длины удава равны его длине плюс 9 м. Следовательно, длина удава равна 9 м.

Чтобы найти скорость удава, нужно путь, который он прополз, разделить на время. Свою длину, то есть 9 м, или 900 см, он проползает за 30 секунд. Значит, его скорость равна 900 : 30 = 30 (см/с).

9.

Математики Иван и Дмитрий одновременно вышли из Главного здания МГУ и отправились одной и той же дорогой в Математический институт — слушать доклад своего коллеги Бориса. Иван поехал на велосипеде, а Дмитрий — на автомобиле. Первую половину пути Дмитрий ехал в пять раз быстрее Ивана. А потом он попал в пробку, и оставшуюся половину пути ехал вдвое медленнее Ивана. Иван приехал в институт как раз к началу доклада Бориса. Успел ли Дмитрий на этот доклад?

Ответ Решение

Ответ. Не успеет.

Решение. Если Дмитрий оставшуюся половину пути ехал со скоростью в два раза меньшей, чем Иван, то он проехал её за то же время, за которое Иван проехал весь путь от ГЗ МГУ до Математического института. Но у Дмитрия на эту половину пути времени было меньше, чем у Ивана на весь путь. Поэтому к началу доклада Дмитрий не успеет.

Часть III

10.

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из городов А и В. На лбу у одного из них сидела муха. В тот момент, когда велосипедисты начали движение, она взлетела и полетела к другому велосипедисту. Долетев до него, она тут же развернулась и полетела обратно и т.д. Так она летала туда-сюда до тех пор, пока велосипедисты не встретились в деревне С, где муха решила отдохнуть. Какое расстояние пролетела муха, если скорость первого велосипедиста 15 км/ч, скорость второго — 17 км/ч, расстояние между городами 64 км, а скорость мухи 20 км/ч?

Ответ Решение

Ответ. 40 км.

Решение. Скорость сближения велосипедистов равна 15 + 17 = 32 км/ч. Значит, от момента, когда они тронулись, до их встречи пройдет 64 : 32 = 2 ч. А за эти 2 часа муха пролетит 20·2 = 40 км.

11.

Железнодорожный поезд проходит мимо наблюдателя в течение 10 секунд. При той же скорости он проходит через мост длиной в 100 метров в течение минуты. Найти длину и скорость поезда.

Ответ Решение

Ответ. 20 м; 2 м/с.

Решение. Проезжая мимо наблюдателя, поезд преодолевает свою длину за 10 секунд. Когда он едет по мосту (длина которого 100 м), он проезжает сумму своей длины и длины моста за 60 секунд. Так как 60 : 10 = 6, то за это время он проезжает 6 своих длин. Таким образом, сумма 100 м и длины поезда равна 6 длинам моста. Отсюда 5 длин моста равны 100 м. Значит, длина поезда равна 100 : 5 = 20 м. А раз он проезжает эти 20 м за 10 с, его скорость равна 20 : 10 = 2 (м/с).

12.

Паспарту подошёл к мосту длиной 200 м. Пройдя по нему 75 м, он увидел приближающийся к мосту автомобиль Фикса. Если Паспарту повернёт назад и побежит навстречу автомобилю, они встретятся у начала моста. Если же он побежит вперёд, автомобиль догонит его в конце моста. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости Паспарту?

Ответ Решение

Ответ. В 4 раза.

Решение.

Сначала рассмотрим случай, когда Паспарту бежит навстречу автомобилю. За то время, пока он пробегает 75 м, автомобиль доезжает до моста.

Теперь рассмотрим случай, когда Паспарту бежит от автомобиля. Как мы выяснили выше, к тому времени как Паспарту пробежит 75 м, автомобиль доедет до моста. После этого Паспарту останется пробежать еще 125 − 75 = 50 м до конца моста. За это время автомобиль проедет мост от начала до конца и догонит Паспарту. Получаем, что за одно и то же время автомобиль проедет 200 м, то есть длину моста, а Паспарту пробежит 50 м, то есть в 4 раза меньше. Поэтому скорость Паспарту в 4 раза меньше скорости автомобиля.