МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 16.Счастливые часов не наблюдают

Ах, время, время, temp и tempo, Zeit и time!
Мы не считаем, не считаем, не считаем…

Иваси, «Ах, время, время!»

Часть I

1.

Яша утверждает, что его домашние настенные часы показывают точное время ровно два раза в сутки. Можно ли верить его словам?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Если у Яши дома настенные часы со стрелками, которые остановились, то они показывают правильное время ровно 2 раза в сутки.

2.

Славины настенные часы отстают в час на 5 минут. Сейчас 6 часов утра, а в 12 часов дня к Славе придут гости. На какое время ему надо поставить стрелки часов, чтобы в полдень часы показывали правильное время?

Ответ Решение

Ответ. На 6:30.

Решение. До прихода гостей осталось 6 часов. За один час часы отстают на 5 минут, значит, за 6 часов они отстанут на 30 минут. Поэтому часы нужно перевести на 30 минут вперед, то есть на 6:30.

3.

Ваня сказал, что с начала суток прошло времени в два раза больше, чем его осталось до конца суток. В какое время Ваня сделал это утверждение?

Ответ Решение

Ответ. В 16:00.

Решение. Разделим сутки на три равных части по 8 часов. Когда Ваня сделал своё утверждение, прошло две части суток, а до конца оставалась ещё одна часть. Стало быть, с начала суток прошло 16 часов.

4.

У вас есть песочные часы на 4 и на 7 минут. Можно ли с их помощью поставить вариться яйцо ровно на 10 минут? Класть часы набок нельзя.

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Сначала нужно одновременно перевернуть часы. Когда пройдёт 4 минуты, в часах на 7 минут останется песка ещё на 3 минуты. В этот момент нужно поставить яйцо вариться. Когда в часах на 7 минут весь песок пересыпется вниз, пройдёт 3 минуты. После этого нужно опять перевернуть эти часы и подождать ещё 7 минут, после чего выключить плиту. Тогда яйца будут варится ровно 10 минут.

Часть II

5.

Пустив в одно и то же время двое часов, Иван Антонович обнаружил, что одни из них отстают на 2 минуты в час, а другие спешат на 1 минуту в час. Когда Иван Антонович вновь посмотрел на часы, то увидел, что спешащие часы ушли по сравнению с отстающими на 1 час вперёд. Сколько времени шли часы?

Ответ Решение

Ответ. 20 часов.

Решение. За каждый час разница во времени на этих часах увеличивается на 3 минуты. Первоначально они показывали одинаковое время. Если через какое-то время разница между ними стала равна 60 минутам, то прошло 60 : 3 = 20 часов.

6.

Петины настольные электронные часы показывают часы и минуты (например, 16:15). Тренируясь в счёте, Петя находит сумму цифр на этих часах (например, в 16:15 он получит 1 + 6 + 1 + 5 = 13). В какое время эта сумма будет наибольшей?

Ответ Решение

Ответ. В 19:59.

Решение. Третья цифра на часах всегда не больше 5, а четвёртая всегда не больше 9. Если первая цифра 2, то вторая не больше 3, а сумма первой и второй цифр не больше 5. Если же первая цифра 0 или 1, то вторая может быть от 0 до 9. Сумма первой и второй цифры будет наибольшей, когда первая цифра 1, а вторая 9. Таким образом, наибольшая сумма цифр будет в 19:59.

7.

Будильник спешит на 9 минут в сутки. Ложась спать в 22:00, Юля установила на нём точное время. На какое время ей нужно завести звонок, чтобы будильник зазвенел ровно в 6:00?

Ответ Решение

Ответ. На 6:03.

Решение. Юля будет спать 8 часов (с 22:00 до 6:00). Если за сутки, то есть за 24 часа, будильник уходит вперёд на 9 минут, то за 8 = 24 : 3 часов он уйдёт вперёд на 9 : 3 = 3 минуты. Тогда в 6:00, когда Юле надо проснуться, будильник будет показывать 6:03. Именно в этот момент он и должен зазвонить.

Часть III

8.

На каникулах Сёма летал в Бишкек. Рейс 608 «Аэрофлота» вылетает из Москвы в 12:00, а прилетает в Бишкек в 18:00. Обратный рейс 607 вылетает в 8:00, а прилетает в 10:00. Время вылета указывается по времени пункта отправления, а время посадки — по времени пункта назначения. Сколько времени каждый раз длился перелёт Сёмы? (Подсказка: когда в Москве полдень, в Бишкеке другое время.)

Ответ Решение

Ответ. 4 часа.

Решение. Время в полёте плюс разница во времени между Москвой и Бишкеком — это 18 − 12 = 6 часов, а время в полёте минус эта разница — это 10 − 8 = 2 часа. Если слетать из Москвы в Бишкек и обратно, разница во времени сначала добавится, а потом вычтется. Так что на два полёта уйдёт 6 + 2 = 8 часов, а на один — 4 часа.

9.

Вова носит электронные часы, которые показывают время в формате ЧЧ:ММ:СС, то есть в 14 часов 23 минуты 57 секунд они покажут 14:23:57. Вова заинтересовался, каких секунд в сутках больше: тех, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04:45:14), или тех, когда минут меньше, чем секунд (например, 23:37:59). А как думаете вы?

Ответ Решение

Ответ. Тех и других секунд поровну.

Решение. Допустим, мы нашли такую секунду, когда часы показывают, что минут больше, чем секунд (например, 04:45:14). Будем называть все такие секунды секундами первого типа. Поменяв местами минуты и секунды, получим такую секунду, когда на часах больше секунд, чем минут (в нашем примере 04:14:45). Все такие секунды будем называть секундами второго типа. Аналогичным образом каждой секунде второго типа можно подобрать в пару секунду первого типа (например, парой для 23:37:59 будет 23:59:37). Поэтому те секунды, когда минут и секунд на часах не поровну, разбились на пары: в каждой паре одна секунда первого типа, а другая — второго. А значит, секунд обоих типов поровну.

10.

Вася разбил старинные бабушкины часы на 4 части. Дедушка заметил, что разбились они очень хитро: сумма римских чисел на каждой части оказалась равна 20. Попробуйте определить, как треснул циферблат.

Решение

Решение. Одно из возможных решений приведено на рисунке. Обратите внимание, что оно годится и для часов, на которых четвёрка записывается как IIII, и для часов, на которых четвёрка записывается как IV.