МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 18. Календарь

Часть I

1.

a)

Какой год XIX века останется тем же, если обозначающие его цифры прочитать в обратном порядке?

b)

Был ли в XX веке такой год, который не изменится, если его, написав цифрами, перевернуть вверх ногами?

Ответ Решение

Ответ. a) 1881: b) 1961.

Решение.

a) Почти все годы XIX века записываются так: 18.. (исключение — 1900 год, который нам, очевидно, не подходит). Поэтому, чтобы год читался одинаково справа налево и слева направо, оставшиеся две цифры должны быть 81.

b) Почти все годы ХХ века записываются так: 19.. (исключение — 2000 год, который нам, очевидно, не подходит). Если перевернуть такой номер года, получится ..61 (мы предполагаем, что единица записывается просто палочкой). Так как при этом должен получиться год ХХ века, то первые две цифры должны быть 19. Получаем 1961 год.

2.

Серёжа заметил, что недавно была дата-палиндрóм (читающаяся одинаково справа налево и слева направо): 21.02.2012. А когда была предыдущая дата-палиндром и когда будет следующая?

Ответ Решение

Ответ. 11.02.2011; 02.02.2020.

Решение.

Заметим, что в каждом году может быть не более одной даты-палиндрома. Действиетельно, если уже написан номер года (например, 2012), то число и месяц даты-палиндрома в этом году звписываются теми же цифрами в обратном порядке (в нашем примере 21.02). То есть по номеру года дата-палиндром (если она есть) определяется однозначно.

Таким образом, в 2012 году нет дат-палиндромов, кроме указанной. Попробуем найти предыдущую дату-палиндром в 2011 году. Это будет 11.02.2011.

Следующая дата-палиндром будет не раньше 2013 года. Попробуем найти такую дату в 2013 году. Но это может быть только 31.02.2013, а такой даты нет, поскольку в феврале 2013 года всего 28 дней. Значит, в 2013 году дат-палиндромов не будет. По аналогичным причинам дат-палиндромов не будет и с 2014 по 2019 год. А вот в 2020 году дата-палиндром найдётся: это будет 02.02.2020.

3.

Филипп заметил, что дата 22.01.2012, записанная цифрами, обладает интересной особенностью: переставив первые четыре цифры, можно получить номер года. А какие ещё даты в этом году имеют такое же свойство?

Ответ Решение

Ответ. 12.02.2012, 21.02.2012, 22.10.2012, 02.12.2012, 20.12.2012.

Решение. В записи 2012 года есть ноль, единица и две двойки. Поэтому для записи числа и месяца интересующих нас дат можно пользоваться только ими. С помощью этих цифр можно записать только такие номера месяцев: 01, 02, 10, 12. Если истратить 0 и 1 на запись января (01), то у нас в распоряжении останутся только две двойки. Из них можно составить только число 22. В результате получится дата 22.01.2012, на которую обратил внимание Филипп. Если истратить ноль и одну из двоек на запись февраля (02), то из оставшихся 1 и 2 можно составить две даты: 12 и 21. Таким образом, получаем ещё две даты: 12.02.2012 и 21.02.2012. Аналогичным образом находим дату 22.10.2012 в октябре, а также даты 02.12.2012 и 20.12.2012 в декабре.

4.

Какое наибольшее количество понедельников может быть:

а)

в одном месяце?

b)

в одном году?

Ответ Решение

Ответ. а) 5; b) 53.

Решение.

a) Пять понедельников всегда будет в месяце, начинающемся с понедельника (если только это не февраль невисокосного года). Шести понедельников в одном месяце быть не может. Действительно, тогда в таком месяце было бы как минимум пять полных недель и ещё один понедельник, то есть не менее 7·5+1=36 дней, а такого не бывает.

b) 365 = 52·7 + 1, 366 = 52·7 + 2. Поэтому в каждом году не более 52 полных недель (от понедельника до воскресенья). Если год начинается с понедельника, то каждая из 52 полных недель будет начинаться с понедельника, а 31 декабря тоже будет понедельником. Поэтому в этом случае в году будет 53 понедельника. А если бы в каком-то году было хотя бы 54 понедельника, то в нём было бы не меньше 53 полных недель, чего быть не может.

5.

В одном феврале было 5 суббот. Каким днём недели было двадцать восьмое число в этом феврале?

Ответ Решение

Ответ. Пятницей.

Решение. Если в феврале есть пять одинаковых дней недели, то это февраль високосного года (иначе в нём ровно 28 дней, то есть каждый день недели встречается 4 раза). В феврале високосного года 5 раз встречается только тот день недели, с которого этот февраль начинается (подумайте, почему). Значит, 1 февраля было субботой, и субботой же было 29 февраля. А тогда 28 февраля было пятницей.

Часть II

6.

В США дату принято записывать так: мм.чч.гггг. В Европе же дату записывают так: чч.мм.гггг. Сколько в году дней, дату которых нельзя прочитать однозначно, не зная, каким способом она записана?

Ответ Решение

Ответ. 132.

Решение. Путаница может возникнуть тогда, когда и число, и месяц имеют номер от 1 до 12 (например, 06.05, 03.08 и т.д.). Таких дат всего 12·12 = 144 (по 12 чисел в каждом из 12 месяцев). Но среди них есть 12 дат, которые записываются одинаково и по европейской, и по американской системе (это 01.01, 02.02, ..., 12.12). Поэтому неоднозначно можно прочитать 144 − 12 = 132 даты.

7.

Тёма сказал Коле: «Позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13!» Мог ли такой разговор состояться в какой-либо день какого-либо года?

Ответ Решение

Ответ. Да.

Решение. Предположим, что у Тёмы день рождения 31 декабря, а разговор происходит 1 января — на следующий день после того, как Тёме исполнилось 11 лет. Значит, «позавчера», то есть 30 декабря, Тёме действительно ещё было 10 лет. В этом же году 31 декабря Тёме исполнится 12 лет, а в следующем году 31 декабря ему уже и правда исполнится 13.

8.

В 1989 году было 53 понедельника. Каким днём недели было 1 февраля 1989 года?

Ответ Решение

Ответ. Четвергом.

Решение. Во-первых, заметим, что 1989 год не был високосным, то есть в нём было 365 дней. (Високосные годы, как известно, бывают раз в четыре года.) Если в нём было 53 понедельника, значит, 1 января 1989 года было понедельником (вспомните задачу 4). Тогда 8, 15, 22 и 29 января тоже пришлись на понедельник, а 1 февраля пришлось на четверг.

9.

В июне некоторого года три воскресенья пришлись на нечётные числа. Каким днем недели было 13 июня в указанном году?

Ответ Решение

Ответ. Пятницей.

Решение. Если три воскресенья июня пришлись на нечётные числа, то всего воскресений в июне было 5 (ведь два подряд идущих воскресенья не могут одновременно прийтись на нечётные числа). В частности, первое воскресенье июня пришлось на нечётное число. Если в июне (в котором 30 дней) пять воскресений, то 1 июня — либо суббота, либо воскресенье. А поскольку первое воскресенье июня пришлось на нечётное число, этим числом как раз и было 1 июня. Тогда 8 и 15 июня тоже пришлись на воскресенье, а 13 июня — на пятницу.

10.

Маша сказала Ане: «Вчера бабушка отметила свой шестнадцатый день рождения». Аня очень усомнилась в этих словах, но потом подумала и согласилась. Как вы думаете, что имела в виду Маша? Сколько лет бабушке, неужели и правда 16? И какого числа у бабушки день рождения?

Решение

Решение. У бабушки день рождения 29 февраля, поэтому она празднует его раз в четыре года. Так что на самом деле ей не 16, а 16·4 = 64 года.

Часть III

11.

Толя гостил у прабабушки. Он сел в поезд в субботу и приехал домой в понедельник. Толя заметил, что в этот понедельник число совпало с номером вагона, в котором он ехал, что номер его места в вагоне был меньше номера вагона и что в субботу, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Какими были номера вагона и места?

Ответ Решение

Ответ. Второй вагон, первое место.

Решение. Если в субботу число было больше номера вагона, а через два дня, в понедельник — уже меньше, то эти суббота и понедельник были в разных месяцах. Значит, понедельник мог быть либо первым, либо вторым числом месяца. Но в понедельник число совпало с номером вагона, а номер места был меньше номера вагона. Поэтому номер вагона (и число в понедельник) мог быть только вторым, а тогда номер места мог быть только первым.

12.

Задача-исследование. Правда ли, что каждый год 13-е число какого-нибудь месяца приходится на пятницу? И нас всегда будет преследовать «пятница 13-е»?

Ответ Решение

Ответ. Да.

Решение.

Выпишем номера дней года, на которые попадают 13-е числа разных месяцев. 13 января, очевидно, будет тринадцатым днём года. 13 февраля будет 31+13=44-м днём года, 13 марта будет 31+28+13=72-м днём года (будем пока считать, что наш год невисокосный). Далее аналогично находим: 13 апреля — 103-й день, 13 мая — 133-й день, 13 июня — 164-й день, 13 — июля 194-й день, 13 августа — 225-й день, 13 сентября — 256-й день, 13 октября — 286-й день, 13 ноября — 317-й день, 13 декабря — 347-й день. (Номера тринадцатых чисел в високосном году посчитайте самостоятельно.)

Посмотрим на остатки от деления этих номеров на 7. Получим: 6, 3, 2, 5, 0, 3, 5, 1, 4, 6, 2, 4 (проверьте!). Для високосного года эти остатки будут равны, соответственно, 6, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5. Заметим, что в обоих списках встречаются все возможные остатки от деления на 7 (от 0 до 6).

Номера всех дней года, приходящихся на пятницу, имеют один и тот же остаток от деления на 7 (так как пятница бывает раз в 7 дней). Кроме того, все дни года, номера которых дают одинаковый остаток при делении на 7, приходятся на один и тот же день недели (потому что в неделе 7 дней). Как мы выяснили, номера дней года, приходящихся на 13-е числа разных месяцев, дают все возможные остатки от деления на 7. Поэтому, какой бы остаток от деления на 7 ни давали номера пятниц, всегда найдётся 13-е число какого-нибудь месяца, номер которого делится на 7 с тем же остатком. Это и будет «пятница 13-е».