МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 22 (11 апреля 2015 года)

1.

Петя провёл на плоскости несколько прямых так, что получилось а) одна; б) две; в) четыре точки пересечения. Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?

2.

На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? (Меридиан — дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — это окружность, параллельная экватору.)

3.

Петя хочет изготовить необычную игральную кость, которая, как обычно, должна иметь форму куба, на гранях которого нарисованы точки (на разных гранях разное число точек; на какой-то грани может быть ноль точек), но при этом на любых двух соседних гранях число точек должно различаться по крайней мере на два (при этом разрешается, чтобы на некоторых гранях оказалось больше шести точек). Сколько всего точек необходимо для этого нарисовать? (Укажите минимальное количество, приведите пример их расположения на гранях и докажите, что меньшим числом обойтись нельзя.)

4.

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

5.

Дом представляет собой куб а) 3×3×3; б) 5×5×5, в котором каждый кубик 1×1×1 — квартира. У каждой квартиры один хозяин — либо рыцарь, либо лжец. (Как обычно, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Однажды все жители дома заявили: «Среди моих соседей ровно половина — лжецы». (Два жителя считаются соседями, если их кубики имеют общую грань.) Сколько может быть лжецов среди хозяев дома?

6.

Квадрат 8×8 распилили на квадраты 2×2 и прямоугольники 1×4. При этом общая длина распилов оказалась равна 54. Сколько фигурок каждого вида получилось?

7.

Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.