МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 11 (6 декабря 2014 года)

1.

Король хочет построить 6 крепостей и соединить их прямыми дорогами (каждую с каждой) так, чтобы получилось только 3 перекрёстка, а на каждом перекрёстке пересекались только две дороги. Возможно ли это?

2.

В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой (возможно, проезжая транзитом другие города).

3.

а)

Имеется 15 карточек, пронумерованных числами от 1 до 15. Эти карточки разложили на две стопки. Верно ли, что найдутся две карточки в одной стопке, сумма номеров которых есть точный квадрат?

б)

А если карточек 14 (и занумерованы они от 1 до 14)?

4.

Квартира представляет собой квадрат 3×3, разделённый стенами на квадратики 1×1 — комнаты. Между каждыми двумя соседними по стене комнатами есть дверь, но сейчас все двери заперты. Какое наименьшее число дверей нужно открыть, чтобы кот, сидящий сейчас в одной из комнат, мог гулять по всей квартире?

5.

В некоторой стране любые два города соединены линией одной из двух авиакомпаний. Докажите, что одна из авиакомпаний может закрыться, и при этом по-прежнему можно будет долететь из любого города в любой другой (возможно, с пересадками).

6.

Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Дополнительные задачи

7.

Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?

8.

В конкурсе пения участвовали Петух, Ворона и Кукушка. Каждый член жюри проголосовал за одного из трех исполнителей. Дятел подсчитал, что в жюри было 59 судей, причем за Петуха и Ворону было в сумме подано 15 голосов, за Ворону и Кукушку — 18 голосов, за Кукушку и Петуха — 20 голосов. Дятел считает плохо, но каждое из четырех названных им чисел отличается от правильного не более чем на 13. Сколько судей проголосовали за Ворону?

9.

На сторонах шестиугольника написали по одному числу, а в каждой вершине написали число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стёрли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?