МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 10 (29 ноября 2014 года)

1.

а)

Несколько шестиклассников встали в круг. Каждый назвал свою среднюю оценку по математике. Оказалось, что каждый шестиклассник назвал среднее арифметическое чисел, названных его соседями. Средний балл шестиклассника Винтика равен 4,5. Чему может быть равен средний балл шестиклассника Шпунтика?

б)

Та же задача для 16 шестиклассников, вставших в клетки квадрата 4×4. (Соседними считаются две клетки, имеющие общую сторону.)

2.

Коренное население Острова составляют рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. За круглым столом сидят 12 аборигенов. Каждый из сидящих за столом произнёс: «Напротив меня сидит лжец». Сколько лжецов за столом?

3.

В вершинах квадрата по часовой стрелке расставлены числа а) 1, 2, 4, 3; б) 1, 4, 8, 5; в) 1, 2, 3, 4. За один ход разрешается прибавить по единице к числам, стоящим на концах любой стороны. Можно ли за несколько ходов сделать числа равными?

4.

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

5.

На полях доски 10×10 уселись 100 котов. Каждый из них съел от 1 до 100 сосисок, причём все — разное число. Докажите, что найдётся пара котов, сидящих в соседних клетках, для которых числа съеденных ими сосисок отличаются не менее чем на 6.

6.

На окружности отмечено 9 синих и одна красная точка. Незнайка рисует те многоугольники, у которых все вершины синие. А Тюбик рисует те, у которых есть красная вершина. У кого получится больше многоугольников и на сколько?

7.

Двое играют в игру в квадрате 8×8. Первый может своим ходом закрасить любую клетку квадрата. А второй может своим ходом любой уголок из трёх клеток. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто из игроков может гарантировать себе выигрыш, и как он для этого должен играть?

Дополнительные задачи

8.

Врун всегда лжёт, Рыцарь всегда говорит правду, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил а) Вруна, Рыцаря и Переменчика; б) Вруна, Хитреца и Переменчика. Все трое встреченных им знают друг друга. Путешественнику же известно, что перед ним указанные трое персонажей, но он не знает, кто из них кто. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить это?

9.

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее, чем за час?

10.

В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?