МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 3 (11 октября 2014 года). Математический аукцион

Нечётные ладьи

Расставьте на шахматной доске как можно большее число ладей так, чтобы каждая била нечётное число других.

Делим на 14

Придумайте натуральное число, делящееся на 14, с как можно меньшей суммой цифр.

Вырезаем прямоугольник

Из квадрата на рисунке можно вырезать прямоугольник, сумма чисел в котором равна n для любого n от 1 до 8, а с суммой 9 — нельзя. Расставьте натуральные числа в квадрате 3×3 так, чтобы можно было вырезать прямоугольники с любой суммой от 1 до N для как можно большего N.

Антиквар и монеты

Антиквар приобрёл 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно одна из монет — фальшивая — легче настоящих (а настоящие весят одинаково). За какое наименьшее число взвешиваний, используя чашечные весы без гирь, можно выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз?

Числа на кубе

В вершинах куба расставляют числа от 1 до 8, а затем на каждом ребре пишут разность чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее число различных может получиться среди чисел, написанных на рёбрах?

Обезьяна и орехи

Обезьяна хочет узнать, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. У неё есть 2 ореха. Какого наименьшего числа бросков ей заведомо хватит? (Возможно, и при падении с 15-го этажа орех не разбивается. Неразбившийся орех можно бросать снова.)

Торт с розочками

По рецепту торт имеет вид квадрата 8×8 и содержит ровно 5 розочек (по одной в каких-то пяти клетках). По традиции Винни-Пуху разрешено отрезать любой прямоугольный кусок (с границами по линиям сетки), содержащий ровно одну розочку. Голодный Винни-Пух отрезает себе самый большой кусок из возможных (он может вырезать себе кусок хоть из центра торта, но обязан соблюдать традицию). Предусмотрительный Кролик хочет расставить розочки на торте так, чтобы Винни-Пух получил как можно меньший кусок. Помогите Кролику найти оптимальную расстановку розочек. Какой по площади кусок при этом достанется Винни-Пуху?

Меньше среднего арифметического

Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.
Например, число 3149 подходит: 1 меньше, чем (3 + 4):2 = 3,5, а 4 меньше, чем (1 + 9):2 = 5. А вот число 21358 не подходит, поскольку 3 = (1 + 5):2.

Панграмма наоборот

Напишите наибольшее (по общему количеству букв) осмысленное предложение, все буквы в котором различны.

Оптимальное градостроительство

В некотором городе каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими. Какое наименьшее число площадей может быть в этом городе?