МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 19 (21 марта 2015 года)

1.

Заполните свободные клетки шестиугольной решётки (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19 так, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.

2.

Можно ли в клетки таблицы размером а) 4×4; б) 6×6 вписать по целому числу так, чтобы сумма всех чисел таблицы была положительной, а сумма чисел в каждом квадрате размера 3×3 была отрицательной?

3.

Можно ли расположить фишки в клетках шахматной доски 8×8 (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы во всех вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях — не поровну?

4.

Можно ли таблицу 6×6 заполнить числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на двух больших диагоналях были различны?

5.

Составьте куб 3×3×3 из красных, жёлтых и зелёных кубиков 1×1×1 так, чтобы в любом бруске 3×1×1 были кубики всех трёх цветов.

6.

Двое игроков по очереди выставляют на доску 2015×2015 по одной шашке. При это ни в одной горизонтали и ни в одной вертикали не должно быть больше двух шашек. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто из игроков может обеспечить себе победу и как он для этого должен играть?

Дополнительные задачи

7.

Лена и Настя играют в следующую игру: в каждую клетку шахматной доски они по очереди ставят по шашке. Проигрывает тот, после чьего хода в столбце или строке окажется три шашки. Начинает Лена. Может ли одна из девочек играть так, чтобы всегда выигрывать, независимо от ходов соперницы?

8.

Какое наименьшее число гирек может быть в наборе, если его можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

9.

В клетки таблицы размером 9×9 расставили все натуральные числа от 1 до 81. Вычислили произведения чисел в каждой строке таблицы и получили набор из девяти чисел. Затем вычислили произведения чисел в каждом столбце таблицы и также получили набор из девяти чисел. Могли ли полученные наборы оказаться одинаковыми?